「算法笔记」莫比乌斯反演

一、积性函数

数论函数是指一个正整数到整数的映射。

积性函数：对于所有 互质 的整数 (a,b)，有性质 (f(ab)=f(a)f(b)) 的数论函数。常见的积性函数有：

• 约数个数函数　　(d(n)=sum_{dmid n} 1)

• 约数和函数　　(sigma (n)=sum_{dmid n} d)

• 约数 (k) 次幂函数　　(sigma_k (n)=sum_{dmid n} d^k)

• 欧拉函数　　(varphi (n)=sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1])

• 莫比乌斯函数　　(mu (n)=egin{cases}1&{n=1}\(-1)^k&c_{1,2,...,k}=1 (n=prod_{i=1}^k p_i^{c_i})\0&c_i>1end{cases})

完全积性函数：对于所有整数 (a,b)，有性质 (f(ab)=f(a)f(b)) 的数论函数。

如常数函数 (1)，幂函数 ( ext{Id}_k(n)=n^k)（特别地，( ext{Id}_1(n)) 通常记作 ( ext{Id}(n))），单位函数 (varepsilon(n)=[n=1])。

二、狄利克雷卷积

1. 定义与性质

定义：对于两个数列函数 (f,g)，定义它们的 狄利克雷卷积 (h=f*g) 为

(displaystyle h(x)=sum_{amid x}f(a)gleft(frac{x}{a} ight))

性质：狄利克雷卷积满足交换律、结合律、对加法的分配律，有单位元  (varepsilon)。

• 交换律：(f*g=g*f)。

• 结合律：((f*g)*h=f*(g*h))。

• 分配律：(f*(g+h)=f*g+f*h)。

• 单位元：(f*varepsilon=f)。（其中 (varepsilon) 为单位函数 (varepsilon(x)=[x=1])）

若 (f,g) 是积性函数，则 (f*g) 也是积性函数。

2. 常用卷积

(varepsilon=mu*1 Leftrightarrowvarepsilon(n)=sum_{dmid n}mu(d))     (d=1*1 Leftrightarrow d(n)=sum_{dmid n}1)

(sigma= ext{Id}*1 Leftrightarrow sigma(n)=sum_{dmid n}d)     (sigma_k= ext{Id}_k*1 Leftrightarrow sigma_k(n)=sum_{d|n} d^k)

(varphi=mu* ext{Id}Leftrightarrowvarphi(n)=sum_{dmid n}dcdotmu(frac{n}{d})Leftrightarrow ext{Id}=varphi*1Leftrightarrow ext{Id}(n)=sum_{dmid n}varphi(d))

三、莫比乌斯函数

定义：(mu) 为莫比乌斯函数，定义为

(mu (n)=egin{cases}1&{n=1}\(-1)^k&c_{1,2,...,k}=1 (n=prod_{i=1}^k p_i^{c_i})\0&c_i>1end{cases})

性质：莫比乌斯函数是一个积性函数。

(sum_{dmid n}mu (d)=egin{cases}1&{n=1}\0&n eq 1end{cases})，即 (sum_{dmid n}mu(d)=varepsilon(n))，也就是 (mu*1=varepsilon)。

• 证明：设 (n=prod_{i=1}^k {p_i}^{c_i},n'=prod_{i=1}^k p_i)，那么 (sum_{dmid n}mu(d)=sum_{dmid n'}mu(d)=sum_{i=0}^k C_k^icdot(-1)^i=(1-1)^k=[n=1])。

在狄利克雷卷积的意义下，(mu*1=varepsilon)，即 (mu) 和 (1) 互为逆元。

线性筛求莫比乌斯函数。

//线性筛求莫比乌斯函数 
vis[0]=vis[1]=1,u[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i,u[i]=-1;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0){u[i*p[j]]=0;break;} 
        u[i*p[j]]=-u[i]; 
    }
}

四、莫比乌斯反演

公式：设 (f(n),g(n)) 为两个数论函数。

如果有 (f(n)=sum_{dmid n}g(d))，那么有 (g(n)=sum_{dmid n}mu(d)f(frac{n}{d}))。

证明：其实就是，若 (f=g*1)，则 (g=mu*f)。两边同时卷 (mu) 即得。

具体地，(f*mu=g*1*muRightarrow f*g=g)（其中 (1*mu=varepsilon)）。

补充：

• (f(n)=sum_{dmid n}g(d)Leftrightarrow g(n)=sum_{dmid n}mu(d)f(frac{n}{d}))。

• (f(n)=sum_{nmid d}g(d)Leftrightarrow g(n)=sum_{nmid d}mu(frac{d}{n})f(d))。

五、一些应用

可参考 莫比乌斯反演 - OI Wiki。

求解内容	问题形式	题目
(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k])	(gcd) 定值统计	「HAOI 2011」Problem B
(sum_{i=1}^n ext{lcm}(i,n))	非对称 ( ext{lcm})	「SPOJ 5971」LCM Sum
(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m ext{lcm}(i,j))	对称 ( ext{lcm})	「BZOJ 2154」Crash 的数字表格
(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m icdot jcdot gcd(i,j))	带系数的 (gcd) 统计	「Luogu 3768」简单的数学题
(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m d(icdot j))	约数个数统计	「SDOI2015」约数个数和

「SDOI2015」约数个数和 要用到的一个式子：(d(icdot j)=sum_{xmid i}sum_{ymid j}[gcd(x,y)=1])。

六、套路总结

关于莫比乌斯反演：

• 对于布尔类型的求和可以考虑用 (varepsilon(n)=[n=1]) 替换，再通过 (sum_{dmid n}mu(d)=varepsilon(n)) 来变形。

• 已知 (f(x))，可以考虑设一个 (g(x)=sum_{xmid d}f(d))，化简 (g(x)) 后，根据莫比乌斯反演，(f(x)=sum_{xmid d}mu(frac{d}{x})g(d))，再将 (g) 代入 (f)。

• 灵活变换枚举条件。含有向下取整的式子可以变换枚举顺序提到前面，方便 整除分块。

关于推式子：

• 常见的 (gcd) 化法：

  • 1. 例如把 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m [gcd(i,j)=k]) 化简为 (sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{k} floor} [gcd(i,j)=1])。

  • 2. 例如把 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{dmid i,dmid j,gcd(frac{i}{d},frac{j}{d})=1}frac{icdot j}{d}) 换成 (sum_{d=1}^n dcdot sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor}[gcd(i,j)=1]cdot icdot j)。

• 常见的约数化法：对于 (dmid x)，可以考虑枚举 (d) 或 (frac{x}{d})，改变求和顺序。对于出现了 (frac{n}{d}) 的情况，有时可以考虑设 (d'=frac{n}{d}) 进行变换。

  • 1. 比如把 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{xmid i}sum_{ymid j} [gcd(x,y)=1]) 变成 (sum_{x=1}^nsum_{y=1}^m lfloorfrac{n}{x} floor lfloorfrac{m}{y} floor [gcd(x,y)=1])。

  • 2. 比如把 (sum_{d=1}^nsum_{dmid i}^nsum_{dmid j}^mmu(d)cdot icdot j) 变为 (sum_{d=1}^nmu(d)cdot d^2cdot sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor}icdot j)。

  • 3. 设 (d'=frac{n}{d})。比如把 (sum_{dmid n}frac{n^2cdotvarphi( frac{n}{d})}{d}) 变成 (ncdotsum_{d'mid n}d'cdot varphi(d'))。

• 有时可以将式子转化成常见的积性函数。一个简单的例子：把 (sum_{i=1}^x [gcd(i,x)=1]) 转化为 (varphi(x))。

• 对于直接贡献的可以考虑变换枚举顺序使之变成系数。比如把 (sum_{i=1}^x [dmid i]) 变为 (frac{x}{d})，(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m icdot j) 变成 (frac{n(n+1)}{2} imes frac{m(m+1)}{2})。