zoukankan      html  css  js  c++  java
  • MT【256】2016四川高考解答压轴题

    (2016四川高考数学解答压轴题)设函数$f(x)=ax^2-a-ln x,ain R$.

    1)讨论$f(x)$的单调性;
    2)确定$a$的所有可能值,使得$f(x)>dfrac{1}{x}-e^{1-x}$在区间$(1,+infty)$内恒成立.


    分析:
    1)略
    2)设$g(x)=a(x^2-1)-ln x-dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
    当$age dfrac{1}{2}$时,
    $g(x)ge dfrac{1}{2}(x^2-1)-ln x-dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
    记右侧函数为$h(x)$,导数为$h^{'}(x)=x-dfrac{1}{x}+dfrac{1}{x^2}-e^{1-x}$.
    由熟悉的$ln xle x-1$得$dfrac{1}{x}ge e^{1-x}$
    故$h^{'}(x)ge x-dfrac{1}{x}+dfrac{1}{x^2}-dfrac{1}{x}=dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x^2}>0$

    (此处也可不通过放缩而是进一步求二阶导数得到$h^{'}(x)$的正负性)
    故$h(x)$单调递增,而$h(1)=0$,从而$g(x)ge h(x)>0$
    当$a<dfrac{1}{2}$时
    $g(x)<a(x^2-1)-dfrac{x-1}{x}-dfrac{1}{x}+dfrac{1}{x}=dfrac{x-1}{x}(ax^2+ax-1)]$
    容易知道存在$x_0in (1,+infty)$使得$g(x_0)<0$
    综上所述,实数$a$的取值范围为$[dfrac{1}{2},+infty)$
    备注:
    1.$a$的分类标准可以由洛必达法则$(L.Hospital   Rules)$ 得到启示.
    2.几个常见的放缩:
    拉格朗日放缩$dfrac{x}{x+1}le ln (x+1)le x$
    泰勒展开放缩$x-dfrac{x^2}{2}le ln (x+1)le x$
    对数平均放缩$dfrac{2x}{2+x}le ln(x+1)ledfrac{x}{sqrt{x+1}}$

  • 相关阅读:
    十三、Sleuth分布式请求链路追踪
    十二、SpringCloud Stream消息驱动
    十一、SpringCloud Bus 消息总线
    Linux命令(权限管理)
    Linux命令(文件管理)
    Linux的文件和目录
    Linux介绍及安装
    Docker
    Nginx
    13、SpringBoot整合Mybatis-Plus
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/10062121.html
Copyright © 2011-2022 走看看