MT【193】三面角的正余弦定理

(原题为浙江名校新高考研究联盟2018届第三次联考选择压轴题)

在平面$alpha$内，已知$ABperp BC$,过直线$AB,BC$分别作平面$eta,gamma$，使得锐二面角$alpha-AB-eta$为$dfrac{pi}{3}$，锐二面角$alpha-BC-gamma$为$dfrac{pi}{3}$，则平面$eta$和平面$gamma$所成的锐二面角的余弦值为____

提示:如图注意到以下结论：(三面角的第二余弦定理)$cos D=-cos Acos C+sin Asin Ccos angle CBA$

其中$A,C,D$分别表示二面角$D-BA-C,D-BC-A,A-BD-C$所表示的二面角的平面角

此题中$alpha-AB-eta=C-AB-D；alpha-BC-gamma=A-BC-D$代入数值得$cos D=-cosdfrac{pi}{3}cosdfrac{pi}{3}=-dfrac{1}{4}$

由于所求为锐二面角，故答案为$dfrac{1}{4}$.

注:

1.三面角的正弦定理如图为:$dfrac{sin D}{sinangle CBA}=dfrac{sin C}{sinangle DBA}=dfrac{sin A}{sinangle CBD}$ 

2.三面角的第一余弦定理(三射线定理):$cosangle CBA=cosangle DBAcosangle DBC+sinangle DBAsinangle DBCcos D$

3.与这些类似的还有一个和线面角最小有关的三余弦定理.