已知点$A$为椭圆$dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左顶点,$O$为坐标原点,过椭圆的右焦点$F$作垂直于$x$轴的直线$l$.若直线$l$上存在点$P$满足$angle{APO}=30^{0}$,则椭圆的离心率的最大值为_____
分析:过$A,O$作圆与$l$相切.圆心角记为$ heta$,半径为$R$,则$R=dfrac{a}{2}+c$由正弦定理$dfrac{a}{sin heta}=2R$
由题意$ hetage 30^0$易得$e=dfrac{1}{2sin heta}-dfrac{1}{2}ledfrac{1}{2}$