1. 设(x_{1}(t)=sinc(10t),x_{2}(t)=rect(10t),x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)),利用Matlab求(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))之间的互能量
rect=@(x)(abs(x)<=0.5);
T=10;
dt=1e-4;
t=[-T/2:dt:T/2];
x1=sinc(10*t);
x2=rect(10*t);
x3=x1+x2;
E12=sum(x1.*x2*dt);
E13=sum(x1.*x3*dt);
E23=sum(x2.*x3*dt);
disp([E12;E13;E23])
2. 设(x_1(t)=cos(100pi\,t),x_2(t)=cos(100pi\,t+1-sin(2pi\,t)),x_3(t)=x_1(t)+x_2(t))，利用Matlab仿真求(x_1(t),x_2(t),x_3(t))之间的互功率。
T=10;
dt=1e-4;
t=[-T/2:dt:T/2];
x1=cos(100*pi*t);
x2=cos(100*pi*t+10*sin(2*pi*t));
x3=x1+x2;
P12=mean(x1.*x2);
P13=mean(x1.*x3);
P23=mean(x2.*x3);
disp([P12;P13;P23])
3. 例2的复信号情况
rect =@(x) (abs(x)<=0.5)
T=20;
dt=0.0001;
t=[-T/2:dt:T/2];
x=sinc(10*t).*exp(1i*200*pi*t);
y=rect(10*t).*exp(1i*200*pi*t-1i*pi/3);
Ex=sum(x*x')*dt
Ey=sum(y*y')*dt
Exy=sum(x*y')*dt
abs(Exy)
sqrt(Ex*Ey)
内积
内积的数学定义：
[<x(t),y(t)>=int_{-infty}^{+infty}x(t)y^{*}(t)\,dt
]
特别地，对于实信号(x^{*}(t)=x(t)),
[<x(t),y(t)>=int_{-infty}^{+infty}x(t)y(t)\,dt
]
正交
内积为0称为正交
[<x(t),y(t)>=0
]
傅立叶变换
傅立叶变换就是信号与(e^{j2pi\,ft})的内积：
[<x(t),e^{j2pi\,ft}>=int_{-infty}^{+infty}x(t)e^{-j2pi\,ft}\,dt
]
注：频域内积等于时域内积（重要性质），即
[<x(t),y(t)>=<X(f),Y(f)>
]
也就是，
[int_{-infty}^{+infty}x(t)y(t)\,dt=int_{-infty}^{+infty}X(f)Y(f)\,df
]
特别地，
[int_{-infty}^{+infty}x^{2}(t)\,dt=int_{-infty}^{+infty}X^{2}(f)\,df
]
也就是，能量既可以在时域上算，也可以在频域上算
能量
[E=<s(t),s(t)>=int_{-infty}^{+infty}|s(t)|^{2}\,dt
]
即能量就是信号对自己作内积
互能量
[E_{xy}=<x(t),y(t)>
]
[E_{yx}=<y(t),x(t)>
]
信号之和的能量
[E_{x+y}=int_{-infty}^{+infty}|x(t)+y(t)|^2,dt=int_{-infty}^{+infty}|x(t)|^2+|y(t)|^2+x(t)y^{*}(t)+y(t)x^{*}(t)\,dt=E_x+E_y+E_{xy}+E_{yx}
]