对称闭包破传递. 实封序传稠阿对，实确单区聚有柯，高符狄黎阶冲函，结幺逆，加半分，整星逆，偏确界，线巴欧希拓空张扭旋泛同调流形皆集关 。这是为记忆数学概念的，比如,"群"是结幺逆,"环"是加半分。这里面的知识量很大也很难。 下面是很好很好的东西，多是对老知识的新表示，希望细看，并且消化。 对符号的意义进行合理的,"脑纸分配”创造简洁，美丽，便于表达定理的符号可遇不可求。符号看上去也就是那几个字母，几个括号，组合形式也基本固定，新的符号也多是给旧形式增加新的意义。 下面我发明了几个符号，（我省写了参变量i的范围，不是1~n,就是0~n）； 积和符A：集合A中所有i个元素的P的Q.（P,Q为任意两个谓词（谓词就是表示性质或关系的词，其实性质是一元关系））； 用积和符表示经典定理: 容斥定理:|UAi|＝Σ（-1）^（i-1）A；（集合A是｛A1,A2,…An｝,P是'交的模'，Q是'和'） 。|UAi|是n个集合并的模 。 韦达定理: 多项式 Σai*x^(n-i)=0; (i=0~n) , a0=1; 则 ai＝（-1）^iX；（X是n个根组成的集合，P是'积'，Q是'和', X[0]=1） 特征多项式展开定理: det（λI-A）＝Σ（-1）^iMλ^（n-i）；M［i］是 λI-A 中所有i阶主子式之和，不是积和符了，也没有什么P,Q。 梅森增益特征式: Δ＝Σ（-1）^iL；L是各个单独回路组成的集合，P是'互比接触回路增益之积，Q是'和'。 否定换对偶原理:（MP）'＝M'P'；(M是模态词，P是命题，加'(非) 后是其对应的对偶(摩根公式是其特例) 常用的对偶对如 (所有,必然,禁止,必须,永远,是,与....)’= (存在,可能,允许,无需,有时,非, 或....) 这里的对学自控的人应该有点用，是用对应函数对老知识的表述。 什么是的线性系统，可以虚设一个概念来定义它，导集：一个函数各个自然数阶导数组成的集合。你可以说：0能被输入导集与输出导集的并集的元素线性表示的系统就是线性的。这比用一个表达式表示要好点，用旧概念，和自己想的概念来定义概念。 在有理多项式中零点或极点p的对应函数就是仅把该零极点去掉剩下那个函数。对应函数可以简化公式表达，在很多地方都有出现，比如"拉格朗日插值公式"。 这里只用到了极点的对应函数。记为τp（s）； 用对应函数表示极点响应：极点p的模态是mp=e^pt. @@ Mp=e∧pT.（模态意思很多,这里指响应的形态） 用对应函数表示极点响应： 极点p的响应yp=τp（p）mp； τp（p）叫做模态系数，也是p的留数，用来决定该模态的比重。 共轭复根.如果 p＝α＋jw，p'=α-jw； 则 yp＋yp'＝2|τp（p)|e^αtcos（ωt+θ）；其中θ是 τp（p）的幅角。 这个式子是很好的，记住方便计算，并且从中可以看出为什么线性系统稳定条件是'闭极全在左边'，而且从这个式子能明白频域方法（相量法）的原因，C=RG，C是响应，它由输入R的极点响应，和传递函数G的极点响应组成，闭极全左则G的极点响应会衰减至0. R如果是正弦输入（两个共轭纯虚极点），从该式能看出输出响应也是同频率的正弦波。 重根情况就有点乱了，用的也不多。 单根极点p在这4种域中的形式: 复域.1／s-p≌频域.1／jw-p≌时域.mp≌Z域.1/1-MpZ^（-1）； 汇角函数：h（s）＝Σ∠（s-zi）-Σ∠（s-pi）；（用在根轨迹知识的表述） 循环小数与分数:0.MMM……＝M／10^n-1； 补码公式:（1τ10^k）'＝1τ'10^k ； 电枢公式:τ（k,n）＝（k,n）●τ（1,1/[n／（n,k）]）；（循环等步转圈） 求和与差分的合成 :S（Δan）＝an-a0； 平面翻转群G=< ∠θ ，τ,。>. 化简:∠θτ∠θ＝τ； 平面翻转群.链条公式:∠θ0ㄇτ∠θi＝ τ^n∠（Σ（-1）^iθn-i）； 汉诺塔:AnC=An-1B◎AC◎Bn-1C 格雷码:τn+1＝0τn, 1τ'n; 蕴含定理:∧pi→∨qj（将两边的一部分取否定后换到另一测得到的命题与原命题等价）；(不改变命题真值的变换虽然不能得到更多的信息，但可以得到便于运算的形式或是得到定理中的形式)，这个公式是永真式必然是下列3种情况，并且“取否定换到另一侧”这种操作也是在这三种情况里兜圈子。 1.左边有假 2.右边有真 3.两边有矛盾式(它的证明很简单，但它的特例很多，比如CP规则，摩根公式，反证法，所有推理规则都可以由这个定理推出，只要把1→p,p→0,0Vp等也看成命题公式即可，这个定理真的是极品啊，这个定理真正把,"乛，∧，V,→”四大连接词联系了起来，这是最美的定理之一。我对它想了一个语义模型是在男女公共厕所中间有一个做变性手术的地方，一个人从一个厕所到另一个厕所，它将变性，无论怎么变性，都不会改变这句话的真假"如果男厕所里的人全是男人，那么女厕所里面有男人" 蕴含定理 ，简洁，对称，广泛，纯粹，干净，美，给人带来无尽的想象，它会是一个更加广泛，更加简洁，更加抽象定理的特例。一个假集合:S＝｛A|A不属于A｝，空环逆序的拼图，度数全偶的欧拉图，不同伦K5,K3,3的平面图。