错位排列[数学]

写在前面

那就先从一个例题引入吧 （来自《组合数学》P110）

题目

在一次聚会上，有 (n) 位男士和 (n) 位女士。这 (n) 位女士能够有多少种方法选择男舞伴开始第一支舞？如果在一首曲后每个人必须换舞伴，那么第二支舞又有多少种选择方法？

分析

首先，第一支舞有 (n!) 中选择，而第二支舞的选择方法数为后面要讲的错位排序数 (D_n)

（说起来这个例子好像我校神犇兔崽子Tzz换女朋友）

错位排列

首先安利 (Planet6174) 的博客讲解 小学生都能看懂的错排问题解析 （高中生表示看懂了）

问题

给定 (n) 元集合 (X)，它的每一个元素都有一个特定的位置，而现在要求求出没有一个元素在它指定的位置上的排列的数目。（发现就是上面的第二支舞）

特别的，请注意，每一个元素都只有一个限定不能放的位置。

方法

我们这里假定第 (i) 个元素不能放在第 (i) 个位置上（因为不一样的我们可以通过交换达成，对应顺序没有影响）

用 (D_n) 表示 ({1,2,3,...n}) 的错位排列的数目。那么，对于 (n=1) ，不存在可行解； (n=2) 时，唯一的错位排列是 2 1； (n=3) 时有两个排列 2 3 1 和 3 1 2。因此，我们有 (D_1=0)， (D_2=1)， (D_3=2)。

递推式

考虑将第 (n) 个元素放到第 (k) 个位置 ((k eq n))，有 (n-1) 种放法，然后分类讨论

1、第 (k) 个元素放到了第 (n) 个位置上
发现这样的话第 (n) 个和第 (k) 个就相当于不存在了，不影响其他元素的放置，此时，我们将其余的元素错位排列的方案数量有 (D_{n-2}) 种

1、第 (k) 个元素没有放到第 (n) 个位置上
这样相当于是加了一个限定：第 (k) 个元素不能放在第 (n) 个位置上。因为 (k) 个位置已经被用过了，相当于不存在，那么可以说去掉了 (k) 不放 (k) 位的限制。这样我们可以交换第 (k) 个和第 (n) 个位置，就变成去掉了一个元素 (n) 和位置 (k) 的情况，即变成 (n-1) 个元素的错位排列 (D_{n-1})

我们有了一个很简单的递推式

[D_n = (n-1) imes (D_{n-2}+D_{n-1}) ]

通项公式

[D_n = n! left( 1 - frac{1}{1!} + frac{1}{2!} - frac{1}{3!} cdots + (-1)^n frac{1}{n!} ight) ]

证明这个……详见《组合数学》P108

简单推一下，主要思想 容斥原理

首先，不考虑限制，总排列数为 (n!) 。
减掉不合法的：至少有一个元素放到它的指定位置的有 (C_n^1) 种，限定了这个个的放法后，其余的 (n-1) 个元素可以随意排列，共有 (C_n^1 imes (n-1)!) 种。
但这样有算重的，还要加上两个元素都放在它的指定位置上的方案数 (C_n^2 imes (n-2)!) 种，再减去三个元素的……就得到了

[egin{aligned} D_n &= n! - C_n^1 (n-1)! + C_n^2 (n-2)! cdots (-1)^n C_n^n (n-n)! \ &= n! - frac{n!}{1!(n-1)!} imes (n-1)! + cdots + (-1)^nfrac{n!}{n!(n-n)!} imes (n-n)! \ &= n! left( 1 - frac{1}{1!} + frac{1}{2!} - frac{1}{3!} cdots + (-1)^n frac{1}{n!} ight) \ end{aligned} ]

当然也可以

[D_n = sum_{i=0}^n (-1)^n C_n^i (n-i)! ]

参考资料

1、(Planet6174) 小学生都能看懂的错排问题解析
2、《组合数学》第六章 容斥原理及应用-错位排序

完结撒花

你以为这就完了？不不不，上面那些并不是导致我写这篇博客的根本原因，源自一道题

限制了一些元素放置位置的错位排列

题目

Codeforces 340E

问题描述

给你 (n) 个球 (n) 个盒子，一个盒子只能放一个球,限定第 (i) 个球不能放在第 (i) 个位置上，但已知一些盒子里面已经放了球，求一共有多少种合法的放置方案。

输入格式

第一行一个整数表示 (n) 。第二行 (n) 个数 (a_i) 。如果 (a_i = -1) 表示第 (i) 个盒子没有放球，否则表示第 (i) 个盒子已经放了球 (a_i) 。

输出格式

一个非负整数表示合法的方案数，模 (1e9+7) 。

样例输入

5  
-1 -1 2 1 -1

样例输出

4

数据范围

[egin{aligned} &10\% 1 leqslant n leqslant 10 \ &50\% 1 leqslant n leqslant 2000 \ &100\% 1 leqslant n leqslant 2000000 \ end{aligned} ]

分析

真是，第一眼看到这个题目就想到了错排，但当时这是一个甚至没有列入学习计划的东西却认出来了，然后当场去学，发现错排好简单……再然后，被告知这个题还有放球的限制……

突破口就是将球分成两部分：一个是没有限制可以随便放的，一个是有限制球 (i) 不能放在盒子 (i) 的 。其中已经放好了的球就不管了。

然后就有了一个 (O(n^2)) 的 (dp) ，记 (f[i][j]) 为剩余 (i) 个没限制的球和 (j) 个有限制的球的方案数，然后你大力转移一下，就有了一个 (50) 分的好成绩，再次完结撒花。

没有转移方程 -> 因为在推 (dp) 式敲代码的时候看了一眼原本的错位排列后突然想到了 (O(n)) 的……

容斥！ 不要管没有限制的球，我们记 (tot) 为没有放好的球的个数，记 (a) 为有限制的球的个数 。不理限制时，总共有 (tot !) 种，然后再像上面一样，枚举至少有一个球 (i) 放到盒子 (i) ，其余随便排的 (C_a^i imes (tot-i)!) 种减掉，再加上至少两个的……
最后

[egin{aligned} ans &= tot! - C_a^1 (tot-1)! + C_a^2 (tot-2)! + cdots + (-1)^a C_a^a (tot-a)! \ &= sum_{i=0}^a (-1)^i C_a^i(tot-i)! end{aligned} ]

其实很简单（推式子用了一分钟，前面的一堆算上和机房的那群人聊天用了2h+—），好菜好菜……

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define _ 0

namespace TYC
{
	typedef long long ll;
	const int N=2e6+10;
	const int p=1000000007;
	const int inf=0x3f3f3f3f;

	int arr[N],vis[N];
	ll fac[N],inv[N];

	inline int read()
	{
		int x=0,f=0;char ch=getchar();
		while(!isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
		return f?-x:x;
	}

	inline ll qpow(ll x,ll tim)
	{
		ll ans=1;
		for(;tim;tim>>=1,x=x*x%p)
			if(tim&1) ans=ans*x%p;
		return ans;
	}

	void init(const int n)
	{
		fac[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
		inv[n]=qpow(fac[n],p-2);
		for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%p;
	}

	inline ll C(const int n,const int m)
	{
		if(n<m) return 0;
		return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
	}

	inline void work()
	{
		int n=read();
		int tot=0,x=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
			arr[i]=read();
			if(~arr[i]) vis[arr[i]]=1;
			else tot++;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(!vis[i]) x+=(arr[i]==-1);
		init(tot);
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<=x;i++)
			ans=(ans+(((i&1)?-1:1)*C(x,i)+p)%p*fac[tot-i]%p)%p;
		printf("%lld
",ans);
	}
}

int main()
{
	TYC::work();
	return (0^_^0);
}