Gauss消元法
Gauss消元法的步骤：
(1) 若方程组的第一个主元位置为(0)则交换方程以得到第一个主元 ；
(2) 用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数；
(3) 确定第二个主元，继续以上消元过程；
(4) 最后得到含一个未知量的方程，回代得方程组的解.。
(n)个方程有(n)个主元(Leftrightarrow)方程组有唯一解。
消元中止(Rightarrow)方程组无解或有无穷多解(即出现(0 = c
eq 0)或(0 = 0)).
解：
消去矩阵
现在有矩阵(A)
[egin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 8 & 1 \
0 & 4 & 1
end{pmatrix}
]
需要将其变换为阶梯形矩阵(U)。
首先，第二行减去第一行的三倍。
[egin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
-3 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 8 & 1 \
0 & 4 & 1
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
0 & 2 & -2 \
0 & 4 & 1
end{pmatrix}
]
记左侧矩阵为(E_{21})
然后，第三行减去第二行的两倍。
[egin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & -2 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
0 & 2 & -2 \
0 & 4 & 1
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 5
end{pmatrix}
]
记左侧矩阵为(E_{32})
因此，整个变换过程为(E_{32}(E_{21}A) = (E_{32}E_{21})A = U)
置换矩阵
置换矩阵（交换第一行和第二行）：
[egin{pmatrix}
0 & 1 \
1 & 0
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
a & b \
c & d
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
c & d \
a & b
end{pmatrix}
]
注：若对列进行变换，则将变换矩阵放在右边。“左行右列”