乘法逆元详解

定义

乘法逆元的定义：若存在正整数a,b,p, 满足ab = 1(mod p), 则称a 是b 的乘法逆元, 或称b 是a 的乘法逆元。b ≡ a^-1 (mod p)，a ≡ b^-1 (mod p)

比如说, 在模7 意义下,3 的乘法逆元是5, 也可以说模7 意义下5的乘法逆元是3。模13意义下5的逆元是8……

存在性

看起来和同余方程很相似（其实下面真的可以用exgcd求的！），在同余方程中

ab ≡ 1(mod p)

若a 与p 互质, 则一定存在一个正整数解b, 满足b < p，若a 与p 不互质, 则一定不存在正整数解b.

所以逆元要求a与p互质

求法

求逆元有三种求法，

1、扩展欧几里得

可以用扩展欧几里得求，那么是怎么个求法呢？

扩展欧几里得是用来求这样的一组解的：ax+by = gcd(a,b)，求x和y，（求出x后自然知道了y，所以算是求一个x）。

逆元呢是求这样的一个解：ax ≡ 1 (mod b)，（为了方便理解，改了一下变量名），求x，貌似并没有一点点相似处，那么我们变一下，

ax+by = gcd(a,b)，变成 ax+by = c；

ax ≡ 1 (mod b)，变成 ax-by = 1；如果将y看成负的，ax+by = 1；

完全一样嘛，所以直接套用扩展欧几里得求就好了。

代码

#include<cstdio>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return r;
}

int main()
{
    //gcd(a,p)==1
    int a,p,r,x,y;
    while (scanf("%d%d",&a,&p)!=EOF)
    {
        r = exgcd(a,p,x,y);
        printf("%d",(x%p+p)%p);
    }
    return 0;
}

2、线性求逆元

先纠正一下变量名，再改回来ab ≡ 1(mod p)，求b

p%a = p-(p/a)*a;  在c++中/为整除。

(p/a)*a = p-(p%a);  换下位置

(p/a)*a = -(p%a);  在模p意义下p可以约掉，可以没有这一步

a = -(p%a)/(p/a);  再换一下位置

a^-1 = -(p%a)^-1*(p/a);

所以a^-1可以用(p%a)^-1推出，所以就可以用递推式来推出1到a的所有数的逆元。

代码

int inv[MAXN]; 
void INV(int a,int p)//线性求到a的逆元 
{
    inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=a; ++i)
        inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; 
}

下面的代码只求一个值的逆元，运用的是上面的式子

int INV(int a)//线性求a的逆元 
{
    if (a==1) return 1;
    return ((-(p/a)*INV(p%a))%p);
}

3、欧拉定理求逆元

欧拉定理：a^φ(p) ≡ 1(mod p)

对于任意互质的a,p 恒成立。

欧拉定理用来求逆元用的是欧拉定理的一个推论：
a*a^φ(p)-1 ≡ 1(mod p

仔细观察，a*b ≡ 1(mod p)，在这里的b不就是上面的a^φ(p)-1吗？，所以求出a^φ(p)-1就好了。

所以我们用快速幂就可以求出乘法逆元了。

这个方法它需要多算一个欧拉函数，代码这里不再给出。

补充：其实如果p是质数的话，可以用费马小定理，与欧拉定理是完全一样的，费马小定理在p不是质数时，则只能用欧拉定理。

怎么弄呢？费马小定理 a^(p-1) ≡ 1(mod p) p是质数，且a,p互质，

然后将上面的式子变一下，a*a^(p-2) ≡ 1(mod p) ，

再变一下，a^(p-2) ≡ a^-1 (mod p) ，然后求出a^(p-2)就可以了。

然后再看一下欧拉定理，如果p是质数，φ(p) = p-1，那么我们求a^φ(p)-1，也就是求a^(p-2)。和费马小定理是一样的。

应用

我们知道(a+b)%p = (a%p+b%p)%p

　　　　(a*b)%p = (a%p)*(b%p)%p

求(a/b)%p时，可能会因为a是一个很大的数，不能直接算出来，也无法像上面一样分解。

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，k ≡ b^-1 (mod p) ，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

然后这就成了求a*k%p，然后就可以用那两个公式了。

个人理解

对于个人的理解逆元，逆元是在运算除时，可以变成乘，方便计算，像上面一样，a/b(mod p)就可以变成a*b^-1，这也就是逆元的本质，必须要在模的意义下才有效。

运算a/b时，我们除以b就相当于乘以1/b，这是个分数，不利于计算，所以我们就找到了一个整数，b的逆元，比如计算12/3（mod 7），这是个除法，所以我们可以这样12*(1/3)，虽然是乘法了，但是有分数，所以找一个整数使得x，3x≡1(mod 7)，x=5，即模7意义下3的逆元是5，然后我们乘以这个逆元，12*5 = 60,60 mod 7 = 4，诶，12/3 = 4，相等啊，这就是上面所说的性质，