试题 历届试题 波动数列(dp)

传送门

问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

思路:

由题意，第一项是任意整数，我们设为x。每一项比前一项增加a或减少b，我们可以用di表示第i项为前一项+a或-b。

则可以列出式子 x+x+d1+x+d1+d2+ ..... x+d1+....+dn-1=s；

有nx+(n-1)d1+....+dn-1=s;///这里为方便使下标和常数相同

可以写为nx+d1+....+(n-1)dn-1=s;

那么x=[s-(d1+....+(n-1)dn-1)]/n;

因为数列上的都为整数，那么一定有s%n和(d1+....+(n-1)dn-1)%n相同。

则问题转化为求序列d1+....+(n-1)dn-1的总和取模n余数与s取模n相同的方案数量。

开一个数组dp[i][j]代表前i项数列得到总和取模n等于j的方案数量。

第i项的方案等于前i-1项总和+a或-b后取模值相同两个选择的方案累加得到;

所以我们需要使得前i-1项的总和加上第i项取模得到的等于j。

设前i-1项总和为c,

1.有c+ai≡j(mod n)，那么c≡j-ai(mod n);

2.有c-bi≡j(mod n)，那么c≡j+bi(mod n);

所以有dp[i][j]=dp[i-1][(j+ai)%n]+dp[i-1][(j-bi)%n];

///注意取正余数和初始化dp[0][0]=1(取0项余数为0方案数为1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005];
const int mod = 100000007;
int main(){
    ///得到正余数(a%b+b)%b;
    int n,s,a,b;
    cin>>n>>s>>a>>b;
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][((j-a*i)%n+n)%n]+dp[i-1][(j+b*i)%n];
        }
    }///在总长度是n，当前数是x,组合n-1个数取模n结果和s取模n结果一样的方案数
    cout<<dp[n-1][s%n]<<endl;
    return 0;
}