[CF1271E] Common Number

定义 (f(x)=[xmod 2=1](x-1) + [xmod 2=0] (x/2))

对于任意 (x)，不断令 (x=f(x)) 进行迭代，最终会得到 (x=1)，定义 (path_x) 为 (x) 在这个迭代过程中出现过的所有值的集合

给定 (n,k)，求最大的 (y)，使得有至少 (k) 个 (i in [1,n]) 使得 (y in path_i)

Solution

难度：L5
以下对于数的讨论都是在二进制意义下进行的

设 (f(i)) 表示 (i) 出现在 ([1,n]) 多少个数的 (path) 中，设 (g(i)) 表示 (i) 是 ([1,n]) 中多少个数二进制意义下的前缀

• 对于奇数 (i)，(f(i)=g(i))
• 对于偶数 (i)，(f(i)=g(i)+g(i+1))

由于 (f) 序列的奇数项和偶数项分别单调，于是我们分别二分，找到最后一个 (f(i) geq k) 的奇数项和偶数项即可

考虑如何计算 (g(i))，首先我们找到一个最小的长度 (len)，使得 (i2^{len+1} >n)，然后二分找到 (mid) 使得 (i 2^{len}+mid leq n)，显然可以二分得到，那么 (g(i)=mid+2^{len})

总体复杂度 (O(log^2 n))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
int n,k;

int g(int i) {
    if(i==0) return 0; //!
    int l=0,r=n,len=0;
    while(i*(1ll<<(len+1))<=n) ++len;
    r=1ll<<len;
    while(l<r) {
        int mid=(l+r)/2;
        int t=mid;
        if(i*(1ll<<len)+mid<=n) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    int mid=l-1;
    int t=mid;
    //cout<<"calc "<<i<<" "<<mid<<" "<<len<<endl;
    return mid+(1ll<<len);
}

int f(int i) {
    if(i&1) return g(i);
    return g(i)+g(i+1);
}

int sol1() {
    int l=0,r=n;
    while(l<r) {
        int mid=(l+r)/2;
        int xmid = mid*2;
        if(f(xmid)>=k) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return (l-1)*2;
}

int sol2() {
    int l=0,r=n;
    while(l<r) {
        int mid=(l+r)/2;
        int xmid = mid*2+1;
        if(f(xmid)>=k) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return (l-1)*2+1;
}

signed main() {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>k;
    cout<<max(sol1(),sol2());
}