[LOJ6191] 配对游戏

Description

向一个栈中随机添加 $n le 2000 $ 个括号，求无法配对的括号的期望个数。

Solution

设 (f[i][j]) 表示操作 (i) 次后，有 (j) 个未配对的 ( 的概率。

考虑到最终未配对的左右括号期望个数一定是相等的，所以我们算出未配对左括号个数期望即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double f[2005][2005],ans;
int n;

signed main()
{
    cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=(f[i-1][0]+f[i-1][1])/2;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1])/2;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=i*f[n][i];
    }
    printf("%.3lf",2*ans);
}