动态规划习题分类题解 (202103) - 4. LIS相关
[CF269B]GreenhouseEffect
Description
给出 N 个植物，每个植物都属于一个品种，共计 m 个品种，分落在不同的位置上（在一个数轴上，而且数轴是无限长度的），保证读入的位置是按照升序读入的。
现在我们可以进行一个操作：取任意一个位置上的植物，移动到任意一个没有植物的位子上去。
问我们最少进行多少次操作，能够使得从左到右，是按照品种升序排列的（1 ~ m）（单调不降），而且每种植物都相邻。
Solution
求一下最长非严格上升子序列即可
[CF486E]LISofSequence
Description
给定一个数列，对于每个元素，问它属于以下哪一类：必须在最长上升子序列中；可能在最长上升子序列中，不可能在最长上升子序列中。
Solution
求每个元素开头和结尾的最长上升子序列长度 (f[i]) 和 (g[i])
如果 (f[i]+g[i]-1<ans)，其中 (ans) 是整个序列的最长上升子序列，则 (i) 不可能在最长上升子序列中
如果存在 (j)，使得 (f[i]=f[j], g[i]=g[j])，则 (i) 不在所有的最长上升子序列中
否则，(i) 一定在所有的最长上升子序列中
[CF1257E]TheContest
Description
有三个序列 (a.b.c)，每次操作可以把一个序列中的一个数移动到另一个序列中，问最少操作几次后，可以使得 (a) 序列里的所有数小于 (b) 里面的所有数，(b) 里面的小于 (c) 里面的。
Solution
从结果倒过来考虑，假设三个序列各自有序，那么可以保持不动的部分就是三个序列连在一起的最长上升子序列
[CF1296E2]StringColoring(hardversion)
Description
给定字符串，每个位置染上一种不大于 n 的颜色，相邻位置如果颜色不同则可以交换位置，要求交换若干次后按字典序排序。求颜色数最少的染色方案。
Solution
每个字母最后被换到的位置是确定了
一路上所有的字母得跟他颜色不同
于是逆序对的颜色都是不同的，否则无要求
设 (f[i]) 表示 ([i,n]) 中 i 开头的最长下降子序列长度，那么我们将 (f[i]) 作为 i 的颜色，就可以保证所有逆序对颜色不相同
如果逆序对 i,j 颜色相同，那么我们可以构造 i->j 的转移，使得 $f[j]$ 增大，矛盾现在问题是怎么求每个位置开头的 LDS 长度 一个显然的暴力是，倒序扫描，找每个最近的更小字母位置 但与其记录字母位置，不如直接记录每个更小字母已经有过的最大长度，然后直接续上
[CF1367F1]FlyingSort(EasyVersion)
Description
给定一个序列，可以进行若干次操作，每次将一个数调到开头或者调到最后。求将序列排序的最小次数。保证序列中数字互不相同。
Solution
先离散化成排列，然后发现，不动的数就是原排列中的最长连续上升子序列。
充分性是显然的。
考虑必要性，对于任意一种操作方案，那些没有被操作的数必然会构成原排列中的最长连续上升子序列，因为这些数没被移动他们最后必然是连在一起的。
[CF1437E]MakeItIncreasing
Description
给定一个数列，其中一些元素固定，另一些元素可以修改。要求修改最少的元素使得这个序列变成严格单增的序列。
Solution
首先通过 (a_i leftarrow a_i-i) 将原序列变为非严格单增的序列。
固定元素将原序列分割成了若干段，每段内求一下 LCS，剩下的就是需要移动的。注意，如果超出了左右两侧的固定元素限制的值域，那么这个元素也必须被移动。
[HAOI2006]数字序列
Description
现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。求在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。
(nleq 35000)，保证数据随机
Solution
第一问很容易，只需要令 (b_i=a_i-i)，然后跑最长不下降子序列即可
下面考虑第二问，令 (f[i]) 表示前 (i) 个数构成的数列要变成单调上升需要改动的最小幅度
若 (a_i,a_j, i<j) 满足 (a_j-a_i geq j-i)，则 ([i,j]) 中一定存在一个 (k)，使得 (a[idots k]) 都变成 (a[i])，(a[k+1dots j]) 都变成 (a[j])，整个序列上升并且花费的代价最小，暴力枚举 (j,k) 来转移，时间复杂度为 (O(n^3))
证明可以通过任意构造一种最优解形态，然后通过代价不变的转化使其变化为上述形态
考虑转移到 (f[i]) 的决策点 (j<i) 要求第一问中的 (g[j]+1=g[i])，因此转移点的总数是 (O(n)) 到 (O(nsqrt n)) 量级的，且 (w) 的区间期望为 (O(sqrt n))，总体复杂度估计为 (O(nsqrt n)) 到 (O(n^2)) 之间
在数组前后额外添加最大最小值，可以提供类似于超级源汇的功能
[HAOI2007]上升序列
Description
给定序列 (S)，有 (m) 次询问，每次要求输出下标字典序最小的长度为 (l_i) 的上升序列
Solution
考虑设 (f[i]) 表示从 (i) 发出的最长上升子序列的长度，倒序转移
转移时，在使得 (f[i]) 最大的情况下，使得 (i) 尽量小，即可使得字典序最小
每次询问时，检查是否有 (f[i]=l)，如果没有则直接判定无解
否则，从头开始，利用已经预处理出的 (f[i]) 数组，贪心地找出一个下标字典序最小的上升序列即可