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问题1：3的方幂及不相等的3的方幂的和排列成递增序列{1,3,4,9,10,12,13…}，写出数列第300项。
这里说明一下，全文都不考虑数的长度会不会超过我们定义类型的最大值。
分析：首先想到的是再继续列出后面的一些项，找找规律。
1 →第一行有1个数
3，4 →第二行有2个数
9，10，12，13 →第三行有4个数
27，28，30，34，36，37，39，40 →第四行有8个数
…… →第k行有2k个数
看见右边的数，我们应该很能够很敏感的看出规律来。比如这个数列的第12项37就可以拆成这样的形式：37=1x33+1x32+0x31+0x30，然后我们把3的方幂前面的系数提取出来，就能得到一串数字：1100，这也就是12的二进制数。
然后我们推广到一般的情况，对于上述数组中的第n项an，我们也可以拆成
an=b0x30+ b1x31+ b2x32+ b3x33+……+ bmx3m
而bn等于0或1，然后按照bm…b2b1的顺序写出来，就是一个二进制数。因此，我们的问题就可以解决的。将300写成二进制数就是1 0010 1100，所以a300=1x38+1x35+1x33+1x32=6848。
剩下的问题无非是二进制的转换（O(logN)）和求幂（O(logN)）的两个算法。
其实得到这样的答案并不难，有同学提示我说这不就是三进制么，然后我就把3进制的数挨个列出来，也发现了规律，于是就有了后面的问题3。
下面列出1-20与之对应的3进制数
1 001 1
2 002
3 010 2
4 011 3
5 012
6 020
7 021
8 022
9 100 4
10 101 5
11 102
12 110 6
13 111 7
14 112
15 120
16 121
17 122
18 200
19 201
20 202
其中红色的数字就是我们上面的数组an的前几项，第三列就是数字在数组中的第几项，发现他们对应的三进制编码里面都没有2，所以才恍然大悟，是因为在组成和的时候，3的方幂都最多只用了一次，因此3进制编码里面才不会出现2（果然不同的同学思路和观察角度是不一样的）。
问题2：我们再把这个问题扩展一下，给定一个正整数k，把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列，写出数列第n项。
分析：有了上一个问题的分析，这个问题解决起来就简单多了。我们先将n转换成2进制数bm…b2b1，然后计算an=b0xk0+ b1xk1+ b2xk2+ b3xk3+……+ bmxkm就可以得到第n项的值了。
问题3：再把这个问题扩展一下，用5的方幂{1,5,25,125,625…}序列中的项组成的和，其中每项至多能用2次，这些和构成一个递增的序列{1,5,6,7,10,11,25,26,27,30,31,32…}，写出数列第n项。
分析：当然，这个题你肯定能迅速想到将n转换成3进制，然后用每一位去乘以对应的5的方幂，在求和，就能得到第n项的值。
但是这里还是分析一下。在问题1中有分析到3进制的问题，所以我们不妨把1到20的数写成5进制来找一找规律：
1 001 1
2 002 2
3 003
4 004
5 010 3
6 011 4
7 012 5
8 013
9 014
10 020 6
11 021 7
12 022 8
13 023
14 024
15 030
16 031
17 032
18 033
19 034
20 040
红色加粗的数字就是an的前几项，很显然，他们对应5进制数中，只含有0,1,2，因为每个方幂都有可能被用到0次、1次和2次，仍然有an=b0xk0+ b1xk1+ b2xk2+ b3xk3+……+ bmxkm，只不过这里的k=5，并且bn可以取到0、1、2三个数，所以此时bm…b2b1是一个三进制数。我们把n转换成3进制再去计算，就是顺理成章的了。
问题4：你应该猜得出来接下来这个扩展的问题是什么了，就是把问题3中的5换成k，并且其中每项最多能用到j次(j，求第n项。
看过前面几个问题的分析，这个问题的解决就不在话下了。
问题5：现在给你一个序列{1,3,7,15,31,63,127,255…},该序列每一项都是前一项的两倍加1，同样用这个序列中的项组成和，且每项最多用一次，结果按照升序排列，求第100项的值。
解法也很显然，我们把100写成2进制数就是110 0100，原序列的通项公式是2n-1，所以第100项就是1x127+1x63+1x7=197。
只要序列满足前n-1项的和小于第n项，我们就能按照前面的思想，就算给定的序列是没有通项公式的，我们都能用这个方法算出新得到的序列的第n项。