Tarjan求LCA

2020-03-14

发布于摸鱼酱的个人博客

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首先，Tarjan算法是一个离线求LCA的算法，与倍增不同。

倍增的做法是(O(n))预处理，(O(log_2n))回答每一次询问（倍增），也就是说可以每输入一次询问就立刻计算输出，是在线算法。

Tarjan呢，则是先读入完所有的数据，再用一次(dfs)遍历之后全部输出，在读入完之前不能计算出答案，是离线算法。

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接下来就是具体的过程。

先假设有这样一棵树。

对于这棵树，我们再假装有这样几组询问：

(LCA(4,6))

(LCA(2,10))

(LCA(1,6))

首先我们将这几组询问分别存储到对应的点上。假如第(i)组询问需要求(LCA(u,v))，为了让从u,v都能够访问到这组询问，我们就以每一个点编号为下标，开一个存放{目标点，询问编号}的vector，就像这样.

struct node//定义部分
{
    int v,id;
};
vector<node> ask[500010];

...
//对于每组询问u,v
ask[u].push_back((node){v,i});
ask[v].push_back((node){u,i});
...

为了更清晰，在示例图中我们就不记录询问编号。记录完成后如下图：

这棵询问树完成之后，输入也就完成了，接下来就是离线求LCA的环节了。

在这个环节，我们采用dfs对其进行一次遍历，但是过程中会穿插来自并查集的get求祖先操作。初始化即每个点都是自己的父结点。

贴一下get操作，后面比较好理解。

int get(int x)
{
	return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);
	/*或者写成下面的形式
	if(fa[x]==x)return x;
	else return fa[x]=get(fa[x]);
	*/
}

我们把目前经历过但是还没回溯的点标记为红色R(无实际意义,为了看得更清晰)，回溯了的点标记为蓝色B。是否遍历过就用一个bool数组来统计。

以下是具体操作过程，不需要可以跳过。

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• 从根节点0出发，先到达1.发现结点1有询问LCA(1,6)，查询发现结点6还未遍历，忽略。

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• 从1出发，到达2，记录发现结点2有询问LCA(2,10)，查询结点10还未遍历，忽略。

• 2没有子节点了，标记2已经访问,回溯到父节点1，记录fa[2]=1。

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• 从1出发，到达3，记录fa[3]=1，结点3没有询问，继续遍历。

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• 从3出发，分别到达4,5，结点4的询问点没有出现，忽略并回溯；结点5没有询问，回溯。记录fa[4]=fa[5]=3

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• 从3出发，到达6，记录fa[6]=3，分别处理结点6的两个询问。

• 对于LCA(6,4)，只需要记录结点4的祖先（通过get）,fa[4]=3->fa[3]=3->停止，所以LCA(6,4)的答案即为3，记录在对应答案编号下。

• 对于LCA(6,1)，同样求结点1的祖先，因为1还没有回溯，所以fa[1]=1->停止，记录1到LCA(6,1)下。

• 结点6,3,1回溯，记录fa[6]=3,fa[3]=1,fa[1]=0，回溯到结点0.

• 从0出发，遍历结点7,遍历结点8，结点8回溯，记录fa[8]=7......

• 其余同理。

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好了，下拉到这里就可以了

下面是全过程展示，黄边为已经确定父子结点关系的边。

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相信你已经理解了为什么要把一个询问分成两次记录下来，因为这两次里面虽然只会有一次有效，但是我们不能知道哪一次是有效的，所以就都记录下来，方便判断。

至于原理...首先我们在LCA(u,v)的询问中，答案肯定是v的祖先，而深度最小的那个，即v的祖先中第一个还没有回溯的结点f。u一定是由f往下递归得到的。可以多看几次GIF演示来想想是为什么。

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最近公共祖先(模板题)

参考代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge
{
    int to,next;
}e[1000010];
int head[1000010],cnt;
int fa[500010];
bool vis[500010];
int ans[500010];
struct node
{
    int v,id;
};
vector<node> ask[500010];
void add(int u,int v)
{
    e[++cnt]=(edge){v,head[u]};
    head[u]=cnt;
}
int get(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);
}
void dfs(int u,int f)
{
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        if(e[i].to!=f)dfs(e[i].to,u),fa[e[i].to]=u;
    int len=ask[u].size();
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(vis[ask[u][i].v])ans[ask[u][i].id]=get(ask[u][i].v);
    vis[u]=1;
}
int main()
{
    int n,m,s;
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=500000;i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        ask[u].push_back((node){v,i});
        ask[v].push_back((node){u,i});
    }
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}