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  • [SCOI2007]排列

    嘟嘟嘟

     

    我先瞅了一眼数据范围,l <= 10, T <= 15,然后凭着我不灵光的数学10! * 15 = 54432000 ≈ 5e7,于是我们就水一发全排列,然后就卡过去了……

     1 #include<cstdio>
     2 #include<iostream>
     3 #include<algorithm>
     4 #include<cmath>
     5 #include<cstring>
     6 #include<cstdlib>
     7 #include<vector>
     8 #include<queue>
     9 #include<stack>
    10 #include<cctype>
    11 using namespace std;
    12 #define enter puts("")
    13 #define space putchar(' ')
    14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
    15 typedef long long ll;
    16 typedef double db;
    17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
    18 const db eps = 1e-8;
    19 const int maxn = 12;
    20 inline ll read()
    21 {
    22     ll ans = 0;
    23     char ch = getchar(), last = ' ';
    24     while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
    25     while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    26     if(last == '-') ans = -ans;
    27     return ans;
    28 }
    29 inline void write(ll x)
    30 { 
    31     if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    32     if(x >= 10) write(x / 10);
    33     putchar(x % 10 + '0');
    34 }
    35 
    36 char c[maxn];
    37 int a[maxn];
    38 
    39 int main()
    40 {
    41     int T = read();
    42     while(T--)
    43     {
    44         Mem(c); Mem(a);    
    45         scanf("%s", c); int n = strlen(c);
    46         int d = read(), ans = 0;
    47         for(int i = 0; i < n; ++i) a[i] = c[i] - '0';
    48         sort(a, a + n);
    49         do
    50         {
    51             ll x = 0;
    52             for(int i = 0; i < n; ++i) x = x * 10 + a[i];
    53             if(!(x % d)) ans++;
    54         }while(next_permutation(a, a + n));
    55         write(ans); enter;
    56     }
    57 }
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    然而大家都知道,我是个负责的人,怎么能发一篇这么水的博客呢?必须得叨叨正解呀。

    因为 l <= 10(说第二遍了),所以可以状压dp,令dp[i][j]表示状态 i ,余数为 j 时的排列个数。i 就是一个长度为n的二进制数,第q位为1代表选了,否则没选,比如1101代表只选了第1,2和4个数时的状态。

    然后我们建一个指针k扫 i 的每一位,如果该位为0,就有转移方程

        dp[i ^ (1 << k)][(j + a[k]) % d] += dp[i][j],

    这是啥意思咧,就是说状态为 i 的排列末尾加上a[k]这个数时的排列除以 d 得到的余数的排列个数。比如题中给的一串数:14536,然后  i = 11010,也就是说当前选的数是143,然后枚举k,发现6没选,于是当前状态就选了1436,然而根据后面的(j + a[k]) % d可以得出,这指的实际上是一个特定的排列1436,而不是1436这几个数的其他排列,为什么这时候指的就是一个排列呢?考虑1436组成的其他排列,比如1643,这实际上是由164转化而来,但有人会问,我们 i 也达不到这个状态呀!确实,不过164右可以由16转化过来,16是 i 能达到的。所以说,无论是什么排列,都能通过直接或间接的状态转移过来。因此一个状态实际上表示了很多的排列,枚举状态,就相当于枚举排列了。

    这样的话转移方程就好理解了,如果第k位为0,那么状态 i ^ (1 << k) 就由 i 转移过来,至于第二维为什么是这个(j + a[k]) % d呢,很好证:令w表示状态 i 的排列得到的数,则 w % d = j,于是w = d * x + j,把a[k]放在w后面得到新的第二维 (10 * w + a[k]) % d = (10 * (d * x + j) + p) % d = (10 * j + a[k]) % d,证毕。

    最后ans = dp[(1 << n) - 1][0]

    .最后要考虑的一点,就是有重复的数字,那就除以它出现次数的阶乘次。

    代码极好写

     1 #include<cstdio>
     2 #include<iostream>
     3 #include<algorithm>
     4 #include<cmath>
     5 #include<cstring>
     6 #include<cstdlib>
     7 #include<vector>
     8 #include<queue>
     9 #include<stack>
    10 #include<cctype>
    11 using namespace std;
    12 #define enter puts("")
    13 #define space putchar(' ')
    14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
    15 typedef long long ll;
    16 typedef double db;
    17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
    18 const db eps = 1e-8;
    19 const int maxn = 12;
    20 const int max_size = 1e3 + 5;
    21 inline ll read()
    22 {
    23     ll ans = 0;
    24     char ch = getchar(), last = ' ';
    25     while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
    26     while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    27     if(last == '-') ans = -ans;
    28     return ans;
    29 }
    30 inline void write(ll x)
    31 { 
    32     if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    33     if(x >= 10) write(x / 10);
    34     putchar(x % 10 + '0');
    35 }
    36 
    37 char c[maxn];
    38 int num[maxn];
    39 ll dp[1 << maxn][max_size];
    40 
    41 int main()
    42 {
    43     int T = read();
    44     while(T--)
    45     {
    46         Mem(c); Mem(num); Mem(dp);
    47         scanf("%s", c + 1); int n = strlen(c + 1);
    48         for(int i = 1; i <= n; ++i) num[c[i] - '0']++;
    49         int d = read();
    50         dp[0][0] = 1;
    51         for(int i = 0; i < (1 << n); ++i)
    52             for(int j = 0; j < d; ++j)
    53                 for(int k = 0; k < n; ++k) if(!(i & (1 << k)))
    54                     dp[i ^ (1 << k)][(j * 10 + c[k + 1] - '0') % d] += dp[i][j];
    55         ll ans = dp[(1 << n) - 1][0];
    56         for(int i = 0; i < 10; ++i)
    57             for(int j = 1; j <= num[i]; ++j) ans /= j;
    58         write(ans); enter;
    59     }
    60 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mrclr/p/9539279.html
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