HDU 4652 Dice

嘟嘟嘟

题目大意就是对于一个m面的骰子，回答这么两个问题：

1.求连续扔n次都是同一数字的期望次数。

2.求连续扔n次每一次数字都不相同的期望次数。

 

对于期望dp特别菜的我来说，这道题已经算是很难了。反正是抠了一天……

 

我们先看第一问。

令f_i表示连续 i 次数字都相同的期望，那么要考虑他能转化到什么状态，而不是由什么状态转化过来。

转化到什么状态要考虑到所有情况：包括扔的数字相同的和不同两种情况，于是转移方程就写出来了：

　　f_i = 1 / m * f_i+1 + (m - 1) / m * f₁.

因为如果扔到的数字不同，就退回到了f₁.

然而这个方程是有后效性的，所以变一个形：

　　f_i+1 = m * f_i - (m - 1) * f₁

还可以再变，相邻两项作差得：

　　f_i+1 - f_i = m * (f_i - f_i-1)

当i = 1时，a₁ = f₁ = 1

当i >= 2时,令a_i = f_i - f_i-1

于是a_i就是一个公比为m的等比数列。

然后很显然

　　f_n = S_n = a₁ * (1 - q^_n) / (1 - q) = (1 - mⁿ) / (1 - m).

用快速幂求解即可。

 

然后是第二问：

令f[i]表示抛出 i 次不一样的数字的期望，则

　　f_i = (m - i) / m * f_i+1 + 1/ m * f_i + 1 / m * f_i-1 + 1/ m * f_i-2 +……+ 1 / m * f₁.

因为有1 / m的概率和第f_j次是相同的。

然后每一次将f_i累加到f_n就行了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;

int T, d, m, n;
db dp[maxn];

int quickpow(int a, int b)
{
    int ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) ret *= a;
        a *= a; b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    while(scanf("%d", &T) != EOF)
    {
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d", &d, &m, &n);
        if(!d) printf("%.9lf
", (db)(quickpow(m, n) - 1) / (db)(m - 1));
        else
        {
            dp[0] = 1.00; dp[n] = dp[0];
            for(rg int i = 1; i < n; ++i)
            {
                dp[i] = (db)m / (db)(m - i) * dp[i - 1]; 
                dp[n] += dp[i];
            }
            printf("%.9lf
", dp[n]);
        }    
    }
    }
    return 0;
}