【欧拉函数】
大致题意：如果知道f(a, b)，就可以求出f(a * k, b * k）。现给出一个n，求至少需要知道几个二元组(a, b)，使所有的f(x, y)都能求出来。（1 <= x, y <= n）
首先能确定的是gcd(a, b) = 1。不妨假设b >= a，那么如果b一定，至少需要phi(b)个a,才能知道所有的f(a * k, b * k)。令dp[n]表示这种情况下的答案，则dp[n] = ∑phi[i] (1 <= i <= n)。
上述是在a <= b的条件下得出的，如果没有这个条件，那么dp'[n] = dp[n] * 2 - 1。因为对于f(1, 1)只用求一遍。
总结一下，O(nlogn)预处理欧拉函数（当然线性的更好了）和前缀和，然后O(1)询问。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<cctype> 8 #include<stack> 9 #include<queue> 10 #include<vector> 11 using namespace std; 12 #define enter puts("") 13 #define space putchar(' ') 14 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a)) 15 #define rg register 16 typedef long long ll; 17 typedef double db; 18 const int INF = 0x3f3f3f3f; 19 const db eps = 1e-8; 20 const int maxn = 5e4 + 5; 21 inline ll read() 22 { 23 ll ans = 0; 24 char ch = getchar(), las = ' '; 25 while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar(); 26 while(isdigit(ch)) ans = ans * 10 + ch - '0', ch = getchar(); 27 if(las == '-') ans = -ans; 28 return ans; 29 } 30 inline void write(ll x) 31 { 32 if(x < 0) putchar('-'), x = -x; 33 if(x >= 10) write(x / 10); 34 putchar(x % 10 + '0'); 35 } 36 37 int n, phi[maxn], sum[maxn]; 38 39 void euler() 40 { 41 for(int i = 1; i < maxn; ++i) phi[i] = i; 42 for(int i = 2; i < maxn; ++i) if(phi[i] == i) 43 for(int j = i; j < maxn; j += i) 44 phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); 45 for(int i = 1; i < maxn; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + phi[i]; 46 } 47 48 int main() 49 { 50 euler(); 51 while(scanf("%d", &n) && n) 52 write((sum[n] << 1) - 1), enter; 53 return 0; 54 }