POJ2417 Discrete Logging | A,C互质的bsgs算法

题目:

给出A,B,C

求最小的x使得A^x=B  (mod C)

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题解:

bsgs算法的模板题

bsgs 全称:Baby-step giant-step

把这种问题的规模降低到了sqrt(n)级别

首先B的种类数不超过C种,结合鸽巢原理,所以A^x具有的周期性显然不超过C

所以一般的枚举算法可以O(C)解决这个问题

但是可以考虑把长度为C的区间分为k块,每块长度为b

显然x满足x=bi-p的形式(1<=i<=k,0<=p<b),所以A^x=B  (mod C)移项之后得到A^bi=A^p*B (mod C)

那么这个时候可以预处理出来A^p的所有值(可以用hash表维护)

//注意!hash表在插入之前要先找有没有这个值,如果有的话直接把改了就好

处理出A^b的值,枚举i,就可以得到答案

一般来说令k=b=sqrt(C)时间复杂度最优

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define MOD 1000007
#define EDGE 500000
typedef long long ll;
using namespace std;
ll c,a,b,ok,m,tmp,t,ans,head[MOD],ecnt;
struct adj
{
    ll nxt,w,sum;
}e[EDGE];
void add(ll x,ll sum)
{
    ll org=x;
    e[++ecnt].w=x;
    x%=MOD;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    if (e[i].w==org)
    {
        e[i].sum=sum;
        return ;
    }
    e[ecnt].sum=sum;
    e[ecnt].nxt=head[x];
    head[x]=ecnt;
}
ll qow(ll x,ll y,ll P)
{
    if (y==0) return 1;
    if (y&1) return x*qow(x*x%P,y>>1,P)%P;
    return qow(x*x%P,y>>1,P)%P;
}
ll find(ll x)
{
    ll org=x;
    x%=MOD;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
    if (e[i].w==org)
        return e[i].sum;
    }
    return -1;
}
int main()
{
    while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)
    {
    memset(head,0,sizeof(head));
    ecnt=0;
    ok=0;
    if (a%c==0)
    {
        puts("no solution");
        continue;
     }
    m=ceil(sqrt(c*1.0));
    tmp=b%c,add(tmp,0);
    if (b==1)
    {
        printf("0
");
        continue;
    }
    for (int i=1;i<m;i++)
    {
        tmp=tmp*a%c;
        add(tmp,i);
    }
    ll base=qow(a,m,c),tmp=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        tmp=tmp*base%c;
        ans=find(tmp);
        if (ans!=-1)
        {
        printf("%lld
",i*m-ans);
        ok=1;
        break;
        }
    }
    if (!ok)
        puts("no solution");
    }
    return 0;
}