AVL树的实现——c++

一、概念

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于"二叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理。学AVL树，重点的地方也就是它的旋转算法；

二、AVL树的实现

1. 节点

1.1 AVL树节点

template <class T>
class AVLTreeNode{
    public:
        T key;                // 关键字(键值)
        int height;         // 高度
        AVLTreeNode *left;    // 左孩子
        AVLTreeNode *right;    // 右孩子

        AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
            key(value), height(0),left(l),right(r) {}
};

AVLTreeNode是AVL树的节点类，它包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。

1.2 AVL树

template <class T>
class AVLTree {
    private:
        AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点

    public:
        AVLTree();
        ~AVLTree();

        // 获取树的高度
        int height();
        // 获取树的高度
        int max(int a, int b);

        // 前序遍历"AVL树"
        void preOrder();
        // 中序遍历"AVL树"
        void inOrder();
        // 后序遍历"AVL树"
        void postOrder();

        // (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* search(T key);
        // (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);

        // 查找最小结点：返回最小结点的键值。
        T minimum();
        // 查找最大结点：返回最大结点的键值。
        T maximum();

        // 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
        void insert(T key);

        // 删除结点(key为节点键值)
        void remove(T key);

        // 销毁AVL树
        void destroy();

        // 打印AVL树
        void print();
    private:
        // 获取树的高度
        int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;

        // 前序遍历"AVL树"
        void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
        // 中序遍历"AVL树"
        void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
        // 后序遍历"AVL树"
        void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;

        // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
        // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;

        // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
        AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
        // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
        AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);

        // LL：左左对应的情况(左单旋转)。
        AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);

        // RR：右右对应的情况(右单旋转)。
        AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

        // LR：左右对应的情况(左双旋转)。
        AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);

        // RL：右左对应的情况(右双旋转)。
        AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

        // 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
        AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);

        // 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
        AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);

        // 销毁AVL树
        void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);

        // 打印AVL树
        void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
};

AVLTree是AVL树对应的类。它包含AVL树的根节点mRoot和AVL树的基本操作接口。需要说明的是：AVLTree中重载了许多函数。重载的目的是区分内部接口和外部接口，例如insert()函数而言，insert(tree, key)是内部接口，而insert(key)是外部。

1.3 树的高度

/*
 * 获取树的高度
 */
template <class T>
int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) 
{
    if (tree != NULL)
        return tree->height;

    return 0;
}

template <class T>
int AVLTree<T>::height() 
{
    return height(mRoot);
}

1.4 比较大小

/*
 * 比较两个值的大小
 */
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b) 
{
    return a>b ? a : b;
}

2. 旋转

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

3. 旋转对应的方法

3.1. LL的情况

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

LL旋转代码：

/*
 * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{
    AVLTreeNode<T>* k1;

    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
    k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

3.2. RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

代码：

/*
 * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
    AVLTreeNode<T>* k2;

    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;

    k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
    k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;

    return k2;
}

3.3. LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

代码：

/*
 * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{
    k3->left = rightRightRotation(k3->left);

    return leftLeftRotation(k3);
}

3.4. RL的旋转

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。

代码：

/*
 * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
    k1->right = leftLeftRotation(k1->right);

    return rightRightRotation(k1);
}

4. 插入节点

/* 
 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 插入的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
{
    if (tree == NULL) 
    {
        // 新建节点
        tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);
        if (tree==NULL)
        {
            cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;
            return NULL;
        }
    }
    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
    {
        tree->left = insert(tree->left, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
        {
            if (key < tree->left->key)
                tree = leftLeftRotation(tree);
            else
                tree = leftRightRotation(tree);
        }
    }
    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
    {
        tree->right = insert(tree->right, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
        {
            if (key > tree->right->key)
                tree = rightRightRotation(tree);
            else
                tree = rightLeftRotation(tree);
        }
    }
    else //key == tree->key)
    {
        cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;
    }

    tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;

    return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::insert(T key)
{
    insert(mRoot, key);
}

5. 删除节点

/* 
 * 删除结点(z)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     z 待删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
{
    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
    if (tree==NULL || z==NULL)
        return NULL;

    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
    {
        tree->left = remove(tree->left, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
        {
            AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;
            if (height(r->left) > height(r->right))
                tree = rightLeftRotation(tree);
            else
                tree = rightRightRotation(tree);
        }
    }
    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
    {
        tree->right = remove(tree->right, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
        {
            AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;
            if (height(l->right) > height(l->left))
                tree = leftRightRotation(tree);
            else
                tree = leftLeftRotation(tree);
        }
    }
    else    // tree是对应要删除的节点。
    {
        // tree的左右孩子都非空
        if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))
        {
            if (height(tree->left) > height(tree->right))
            {
                // 如果tree的左子树比右子树高；
                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最大节点。
                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);
                tree->key = max->key;
                tree->left = remove(tree->left, max);
            }
            else
            {
                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最小节点。
                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);
                tree->key = min->key;
                tree->right = remove(tree->right, min);
            }
        }
        else
        {
            AVLTreeNode<T>* tmp = tree;
            tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;
            delete tmp;
        }
    }

    return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::remove(T key)
{
    AVLTreeNode<T>* z; 

    if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
        mRoot = remove(mRoot, z);
}

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