poj2728+最优比率生成树

题意：一个无向图，每条边有两个权值，h和l，要求一个生成树，使得所有边的h的和比上l的和最小。

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率       r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .

为了使 r 最小, 设计一个子问题---> 让     z = ∑(benifit[i] * x[i]) - k * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最小 (d[i] = benifit[i] - k * cost[i]) , 并记为z(k). 我们可以把z(k)看做以d为边权的最小生成树的总权值.（如果求r最大应该使用最大生成树).

由于cost[i]>0,所以k增大则z减小，z在k上单调递减。

接下来便是二分k

当z<0,即k>∑(benifit[i] * x[i])/∑(cost[i] * x[i]).而我们要求k尽量大z才会小，这样k无上限,矛盾。

故z应>=0,由于z在k上单调递减,所以要使r最小，则z要最小，则k要最大,k不能大到使z<0,所以k最大大到使z=0.

二分k使z=0即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
struct node
{
    double x,y,h;
}p[1100];
double g[1100][1100],l[1100][1100],h[1100][1100];
double dis(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
const double mmax=1<<30;
double prim(int n)
{
    int pre[1100],vis[1100],i;
    double lowcost[1100];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        pre[i]=1;
        lowcost[i]=g[1][i];
    }
    int num=0;
    double sum=0;
    while(num<n-1)
    {
        double mmin=mmax;
        int vx;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&lowcost[i]<mmin)
            {
                mmin=lowcost[i];
                vx=i;
            }
        }
        vis[vx]=1;
        num++;
        sum+=g[vx][pre[vx]];
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&g[vx][i]<lowcost[i])
            {
                lowcost[i]=g[vx][i];
                pre[i]=vx;
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n,i,j;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf %lf %lf",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].h);
        double minl=mmax,minh=mmax,maxl=-mmax,maxh=-mmax;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
             for(j=i;j<=n;j++)
             {
                 if(i==j)
                 {
                     l[i][j]=0;
                     h[i][j]=0;
                 }
                 else
                 {
                     l[i][j]=l[j][i]=dis(p[i].x,p[i].y,p[j].x,p[j].y);
                     h[i][j]=h[j][i]=fabs(p[i].h-p[j].h);
                     if(l[i][j]>maxl) maxl=l[i][j];
                 if(l[i][j]<minl) minl=l[i][j];
                 if(h[i][j]>maxh) maxh=h[i][j];
                 if(h[i][j]<minh) minh=h[i][j];
                 }
             }
        }
        double ll=minh/maxl;
        double rr=maxh/minl;
        while(rr-ll>1e-4)
        {
            double mid=(ll+rr)/2;
            for(i=1;i<=n;i++)
                for(j=i;j<=n;j++)
                    g[i][j]=g[j][i]=h[i][j]-mid*l[i][j];
                    double ans=prim(n);
            if(ans>0)   ll=mid;
            else rr=mid;
        }
        printf("%.3f\n",ll);
    }
    return 0;
}