可积的判定（充分条件，必要条件）

• 可积的充要条件，定义：积分和能否无限接近某一常数；

1. 必要条件

• 若函数 f 在 [a, b] 上可积，则 f 在 [a, b] 上必有界；
  反证法，逆否命题，无界 ⇒ 不可积；

若 f 在 [a, b] 上无界，则对于 [a, b] 的任一分割 T，比存在属于 T 的某个小区间 Δk，f 在 Δk 上无界，在 i≠k的各个小区间 Δk 上（区间内）任意取定 ξi，并记：

G=∣∣∣∣∑i≠kf(ξi)Δxi∣∣∣∣

现对任意大（不是无穷大，但要足够大）的正数 M，由于 f 在 Δk 上无界（正无穷，负无穷），故存在 ξk∈Δk，使得：

|f(ξk)|>M+GΔk

右边那一块是构造出来的，

于是有：

∣∣∣∑inf(ξi)Δxi∣∣∣≥|f(ξk)Δk|−∣∣∣∣∑i≠knf(ξi)Δxi∣∣∣∣=M+G−G=M

这与 f 在 [a, b] 上可积相矛盾，从而定理得证；

可积函数一定有界，有界函数不一定可积（比如狄利克雷函数，全取有理数，全取无理数，趋于不同的值，1和0）；
有界是可积的必要条件。

2. 充分条件

references

一、可积的必要条件_百度文库