多元高斯分布及多元条件高斯分布

高斯那些公式

已知 D 维向量 x，其高斯概率分布为：

N(x|μ,Σ)==1(2π)D/21|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))1|Σ|(2π)D−−−−−−−√exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))

• 显然默认 x 是一个列向量

• 还需注意的是，当传递进去的是样本矩阵 X（以行为样本） 而不是列向量 x，则在计算指数部分时，

  -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);

• 当多元高斯分布退化为一元高斯时，Σ 对应着 σ2（方差），而不是标准差（standard deviation）

• 这里 d=(x−μ)TΣ−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√ 也称为马氏距离；
  是对一元高斯分布对应的 d=x−μσ 得拓展；
• 多元时的 d=(x−μ)TΣ−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√ 也可视为某种程度的 z-分数，尤其在变量之间彼此独立，并且方差相同时， d=∥x−μ∥σ（z-分数），
  
  • d=1，68%
  • d=2，95%
  • d=3, 99%
    3σ rule for multivariate normal distribution

1. 条件高斯分布（Conditional Gaussian distributions）

Multivariate normal distribution - Wikipedia

2. 编程时的技巧

• αexp(f(x)) 的计算通常转换为，求对数，再求指数的形式：elogαexp(f(x))=elogα+f(x)

• p=1|Σ|(2π)D√exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) ⇒ logp=−D2log(2π)−12log|Σ|−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)

3. 多元高斯概率密度函数的 matlab 实现

function p = gaussProb(X, mu, Sigma)
d = size(Sigma, 2);
X = bsxfun(@minus, X, mu(:)');
log1 = -d/2*log(2*pi)-1/2*logdet(Sigma);
log2 = -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);
p = exp(log1+log2);
end

• 这里的 X（样本矩阵）以行为样本；