形式的化简与和式的展开

0. 和式作用的对象是 labels 时

P(y)=exp(yz)∑y′=01exp(y′z)

这里不要将分母代换为 exp(z)+1，而是：

P(y)=exp(yz)exp(yz)+exp((1−y)z)

实现分子和分母的协调；

1. 加和

注意下标的范围，尤其在双下标时；

∑1≤i<j≤nai+aj=(n−1)(a1+a2+⋯+an)=(n−1)∑iai

• 固定 i，变化 j 的时候，(n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)2，共这么多加法式，又每一个加法式有两项 ai+aj，故最终的元素个数为 n(n−1)

• n−1 个 a1，1+(n−2) 个 a2，…，也即每一个元素都有 n−1 项

2. 加和的平方

(∑i=1nai)2=∑i,jaiaj=∑i=1na2i+2∑1≤i<j≤naiaj

∑1≤i<j≤nij，可以理解为 i 表示行号，j 表示列号，构成的方阵的上三角，

3. 样本方差

S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯)2=1n−1(∑i=1nX2i−nX¯2)

4. 常量与变量的四则运算

∑i=ab(A[i]−m)2=(b−a+1)m2+∑i=abA[i]2−2m∑i=abA[i]

5. 错位相乘在相加

nd+Nd(nd−1+Nd−1(nd−2+Nd−2⋅(⋯+N2n1)⋯))=∑k=1d⎛⎝∑ℓ=k+1dNℓ⎞⎠nk