华为OJ平台——放苹果（典型整数划分问题）

题目描述：

输入m,n，分别表示苹果数与盘子的总数，要求输出苹果放在n个盘子的方法总数（注意511和151是一种情况），例如输入 7 3 输出8（（7），（6,1），（5,2），（4,3），（5,1,1），（4,2,1），（3,3,1），（3,2,2））

思路：

最典型的解法整数分解，例如给定n个苹果，把苹果放到k个盘子里，允许有的盘子为空，不妨设 f（n , k ) (边缘条件为当 n = 0 ，1时，返回1，当 k = 1 时，返回1）表示结果，分析一下可以知道有两种放的方法，一种是有空盘，一种是没空盘。

没空盘的情况可以知道每个盘子里至少有一个苹果，也就是说这种情况的总数为 f ( n-k , k ) 。

而有空盘的情况，我们可以假设最后一个盘子为空，则这种情况的总数为f ( n , k-1 ) (无需考虑多个盘子为空的情况，递归时必然会出现）

所以状态转移方程为 f ( n , k ) = f ( n-k , k ) + f ( n , k-1 )

import java.util.Scanner;

/**
 * 把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，
 * 问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
 */
public class PlayApples {

    public static void main(String[] args) {
        //输入读取参数
        Scanner cin = new Scanner(System.in) ;        
        int apples = cin.nextInt() ;
        int planes = cin.nextInt() ;
        cin.close();
        
        System.out.println(count(apples,planes)) ;

    }

    /**
     * 最典型的整数分解
     * 例如给定n个苹果，把苹果放到k个盘子里，允许有的盘子为空， 不妨设 f（m , n ) 
     * (边缘条件为当 m == 0 ，1时，返回1，当 n == 1 时，返回1）表示结果，
     * 分析一下可以知道有两中放的方法，一种是有空盘，一种是没空盘，
     * 没空盘的情况可以知道每个盘子里至少有一个苹果，也就是说这种情况的总数为 f ( n-k , k ) 。
     * 而有空盘的情况，我们可以假设最后一个盘子为空，则这种情况的总数为f ( n , k-1 ) (无需考虑多个盘子为空的情况，递归时必然会出现）
     * 所以状态转移方程为 f ( n , k ) = f  ( n-k , k ) +  f ( n , k-1 )。
     * 
     * 而如果是不允许有空盘子的情况，则可以由上面的情况推出，
     * 设 d ( n , k ) 表示把n个苹果放到k个盘子里，不允许有空盘子的方法总数，
     * 则有f ( n , k ) =  Σ (  1 <= i <= k ) d ( n , i ) 
     * 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 )
     * 
     * @param m  苹果数量
     * @param n  盘子数量
     * @return
     */
    private static int count(int m, int n) {
        //n为0 是错误的，故返回0
        if(n == 0){
            return 0 ;
        }
        //m == 0,1时和 n == 1时均只有一种放法
        if(m == 0 || n == 1 || m == 1 ){
            return 1 ;
        }else if(m < 0){
            //m < 0 时，也是错误的情形，所以返回0
            return 0 ;
        }else{
            //递归调用
            return count(m-n,n) + count(m,n-1) ;
        }    
    }
}

扩展：

而如果是不允许有空盘子的情况，则可以由上面的情况推出，设 d ( n , k ) 表示把n个苹果放到k个盘子里，不允许有空盘子的方法总数，则有

f ( n , k ) = Σ ( 1 <= i <= k ) d ( n , i ) 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 )