算法学习笔记（二）——初级排序算法

时间复杂度（Time Complexity）：

总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)（注：若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)）

若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。

• 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)

• 算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n）

随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

空间复杂度(Space Complexity)：

一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度（包括程序代码所占用的空间，输入数据所占用的空间和辅助变量所占用的空间这三个方面。）

注：

• 如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；
• 当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为0(log₂n)；
• 当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为0(n).

冒泡排序

 步骤：（升序）

 　　首先设a[0]为最小数然后与后续元素比较，若某一元素比a[0]x小则交换位置，然后a[0]不变，设a[1]]第二小的数，按照上面方法在剩下元素找比a[1]小的数。。。

#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
int main()
{
    int n,i,j,temp;
    scanf("%d",&n); 
    int *a=(int*)malloc(sizeof(int));
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(a[i]>a[j])
            {
                temp=a[i];
                a[i]=a[j];
                a[j]=temp;
            }
        }
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}

’选择排序

步骤：（升序）

   首先找到数组中最小的数，与数组第一位数交换位置（如果最小数是本身与本身交换）。接着在剩下的数中找第二小的数，与数组第二位数交换位置（如果第二小数是本身与本身交换）........按照相同步骤依次执行最后一个元素。

数据交换N次，数据比较（N-1）+(N-2)+........+3+2+1=N*(1+N-1)/2=N^2/2次（最后一个元素与自身交换）

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(1)

#include<stdio.h>
#include<malloc.h> 
int main()
{
    int n,i,j,min,temp;
    scanf("%d",&n);
    int *a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        min=a[i];//最小数 
        temp=i;//最小数在数组中的位置 
        for(j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(min>a[j])//比较大小 
            {
                min=a[j];
                temp=j;
            }
        }
        a[temp]=a[i];//交换 
        a[i]=min;
     } 
     for(i=0;i<n;i++)
     printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}

• 运行时间与输入无关，有序数组输入其排序用时和相同长度的无序数组是一样的。
• 数据移动最少，每次只需移动两个数组

插入排序

直接插入排序 

步骤：（升序）

 将原数组分成两组，一组为已排好序的数组A,另一组为乱序数组B。数组A倒序（A[length-1]）每个元素依次与数组B的一个元素比较（从B[0]开始），若A组某元素比B组元素大，A组元素后退一位为，B组元素腾出空间，然后B组推下一个元素.

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(1)

#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
void sort(int *a,int n);
int main()
{
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    int *a=(int *)malloc(sizeof(int )*n);
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    sort(a,n);
    for(i=1;i<n;i++)
    printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}
int less(int a,int b)
{
    if(a<b) return 1;
    return 0;
 } 
void sort(int *a,int n)
{
    int i,j,temp,k;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        temp=a[i];
        for(j=i-1;j>=0&&less(temp,a[j]);j--)
        {
            a[j+1]=a[j];
        }
        a[j+1]=temp;
    }
}

 

• 插入排序所需时间取决于输入元素的顺序
• 插入排序更适用于部分有序的数组，和小规模数组

希尔排序

 步骤：（升序）

为加快速度的插入排序，交换不相邻的元素将数组部分变有序。使数组间隔h（h会改变）个元素有序。h在变化前，程序使h个元素间隔的小数组有序。

　　例：2—6—70（小数组每个元素间隔h个元素）..

时间复杂度：

空间复杂度：O(1)

#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
//伸序 
int less(int a[],int i,int j)
{
    if(a[i]<a[j])
    return 1;
    return 0;
}

int main()
{
    int n,h,i,j,temp,k;
    scanf("%d",&n);
    int *a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    h=1;
    while(h<n/3)
    h=3*h+1;
    while(h>=1)
    {
        for(i=h;i<n;i++)
        {
            for(j=i;j>=h&&less(a,j,j-h);j-=h)
            {
                temp=a[j];
                a[j]=a[j-h];
                a[j-h]=temp;
            }
        }
        h/=3;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    printf("%d ",a[i]);
    return 0;
 } 
 

 疑问1：出现6—4—5这样的小数组，排序后还是为无序小数组？

       答：并不会出现6—4—5这样的小数组，因为：

　　　　j=h 为 6—4小数组，会重新排序为有序4—6小数组

　　　　j=2h  为4—6—5小数组，会重新排序为有序4—5—6小数组

疑问2：如何选择h的递增数列？

　　　　书中用的的3*h+1与复杂递增序列的性能相近，但比较简单，所以书中将该递增数列提出作为参考　

　　　　并未找到最优递增数列　　　

优势：

 　　希尔排序比插入排序和选择排序快得多，并且数组越大，优势越大。　

参考资料：《算法第四版》　　　

如何计算时间/空间复杂度：http://www.cnblogs.com/zakers/archive/2015/09/14/4808821.html