数据结构与算法—复杂度分析

大O复杂度表示法

这里有段非常简单的代码，求1，2，3...n的累加和。现在来估算一下这段代码的执行时间。

def added(n):
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum = sum + (i+1)
    return sum
print(added(10))
#python 版

int cal(int n){
    int sum = 0;
    int i = 0;
    for( ; i <= n;++1){
        sum = sum + 1;
        }
        return sum;
}
#原版伪代码

从CPU的角度来看，这段代码的每行都执行着类似的操作：读数据—运算—写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数，执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所有可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。

那么，第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间是（2n+2）*unit_time。可以看出，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。

按照这个分析思路，我们再来看这段代码：

def cal(n):
    sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            sum = sum + (i+1) * (j+1)
    print(sum)        
cal(10)
#python版

int cal(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for(; i <= n; ++i){
        j = 1;
        for (; j <= n; ++j){
            sum = sum + i * j;
        }
    }
}
#原版伪代码

我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那么这段代码的执行总时间T(n)是多少呢？

第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环了n遍，需要2n*unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n^2遍，所以需要2n^2*unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n) = (2n^2 + 2n + 3)*unit_time。

尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式：T(n) = O(f(n))

其中，T(n)：表示代码执行时间 ； n：表示数据规模大小； f(n)：表示每行代码执行的次数总和。公式中的O表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

所以，第一个例子中的T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的T(n) = O(2n^2+2n+3)。就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫做渐进时间复杂度。

当n很大时，你可以把它想象成10000，1000000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n)=O(n);T(n)=O(n^2)

时间复杂度分析

1.只关注循环次数最多的一段代码

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n){
    int sum_1 = 0;
    int p = 1;
    for (; p<100; ++p){
        sum_1 = sum_1 + p
    }

    int sum_2 = 0;
    int q = 1;
    for(; q<n; ++q){
        sum_2 = sum_2 + q;
    }

    int sum_3 = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for(; i<=n; ++i){
        j = 1;
        for(; j<=n; ++j){
            sum_3 = sum_3 + i * j;
        }
    }
    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
#原版伪代码

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n^2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内代码复杂度的乘积

假设T1(n) = O(n)，T2(n)=O(n^2)，则T1(n) * T2(n) = O(n^3)。落实到具体代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，举个例子：

int cal(int n) {
    int ret = 0;
    int i = 1;
    for (; i<n ; ++i) {
        ret = ret + f(i);
    }
}

int f(int n) {
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for(; i<n; ++i) {
        sum = sum +i;
    }
    return sum;
}
#原版伪代码

4.几种常见时间复杂度实例分析

对于罗列的复杂度量级，我们可以粗略的分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n)和O(n!)

当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于NP时间复杂度就暂且不说了。主要看下几种常见的多项式时间复杂度。

1.O(1)

O(1)是常量级时间复杂度的一种表示方法。一般情况下，只要算法中不存在循环语句，递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)

2.O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

i = 1;
while (i<=n) {
    i = i * 2;
}

如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)。而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序，快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

3.O(m+n)、O(m*n)

我们再来将一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m,int n) {
    int sum_1 = 0;
    int i = 1;
    for(; i<m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
    }

    int sum_2 = 0;
    int j = 1;
    for (; j<n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
    }
    return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量极大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m)+ g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m)*g(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。