数论之中国剩余定理

欧几里得算法是一种求解两非负数最大公约数的过程，它本质上就是执行辗转相除法。

    int gcd(int a,int b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }

可证明最终得到的结果（设为(r_n)）就是所求最大公约数：第一步证明(r_n)是两数约束，第二步证明(r_n)可被两数任意约数整除。

贝祖定理：对于不全为 0 的自然数(a,b)，必然存在整数(x,y)（不唯一）满足等式(ax+by=gcd(a, b))。使用扩展欧几里得算法能够证明。进而可知，若(a,b)互素，那么存在整数(x,y)满足等式(ax+by=1)。更进一步，若(a,b)互素，总可以找到一个比(b)小的非负数(x)，使得(ax=1(mod b))成立。

中国剩余定理是从一个方程求解过程总结出的定理。

　　有同余方程组：(left{egin{array}{l}{x equiv a_{1}left(mod m_{1} ight)} \ {x equiv a_{2}left(mod m_{2} ight)} \ {cdots} \ {x equiv a_{k}left(mod m_{k} ight)}end{array} ight.)，其中(m_1, m_2, cdots, m_k)为两两互素整数，求(x)的最小非负整数解。

求解：

1. 令(M=prod_{i=1}^{k} m_{i})，即(M)是所有(m_i)的最小公倍数；
2. 由于(m_i)两两互素，所以(frac{M}{m_{i}})与(m_i)亦互素，根据上述贝祖定理推论，可有(frac{M}{m_{i}} t_{i} equiv 1left(mod m_{i} ight))；
3. 则有一个解为(x=sum_{i=1}^{k} a_{i} frac{M}{m_{i}} t_{i})，通解为(x+i * M(i in Z))，特别的，最小非负整数解为((x \% M+M) \% M)。

证明：

1. 由(frac{M}{m_{i}} t_{i} equiv 1left(mod m_{i} ight))两边同乘(a_i)得：(a_ifrac{M}{m_{i}} t_{i} equiv a_ileft(mod m_{i} ight))；
2. 又(forall k downarrow=i, a_{i} frac{M}{m_{i}} t_{i} equiv 0left(mod m_{k} ight))；
3. 将两式代入原方程，易得[其中一解](x=sum_{i=1}^{k} a_{i} frac{M}{m_{i}} t_{i})。

推论：基于上述同余方程组，对于不同的(left(a_{1}, a_{2} dots, a_{k} ight))集合，(0 leqslant x_{最小非负值} leqslant M)取值亦各不相同，此一一对应关系可用于推导欧拉函数。

参考资料：

辗转相除法的原理

POJ1006: 中国剩余定理的完美演绎

中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理

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