浅谈扩展欧几里得[exgcd] By cellur925

关于扩展欧几里得从寒假时就很迷，抄题解过了同余方程，但是原理并不理解。

今天终于把坑填上了qwq。

由于本人太菜，不会用markdown，所以这篇总结是手写的（什么）。（字丑不要嫌弃嘛）

********Update9.28**********

 刚刚我们求出的是一组特值，那么如何求通值?

约定：设x0,y0为一组特解，t为任意整数，设a>b（不行再交换）

那么有　　x=x0+b/gcd*t
　　　　　y=y0-a/gcd*t

*******************************

奉上三道例题：

Ep1 青蛙的约会 Luogu P1516

花姐姐（@皎月半洒花）说的太棒了，我都不忍再去添加什么。

奉上链接，侵删！

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll xx,yy,ans;
ll x,y,m,n,t;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &xx,ll &yy)
{
    if(!b)
    {
        xx=1;
        yy=0;
        return a;
    }
    ans=exgcd(b,a%b,xx,yy);
    ll tmp=xx;
    xx=yy;
    yy=tmp-a/b*yy;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&t);
    ll a=n-m,z=x-y;
    if(a<0) a=-a,z=-z;
    exgcd(a,t,xx,yy);
    if(z%ans) printf("Impossible");
    else printf("%lld",((xx*(z/ans))%(t/ans)+(t/ans))%(t/ans));
    return 0;
}

注意体会同余方程转线性方程的思想与做法！

Ep2 倒酒 Luogu P1292

容易看出，得到酒的最小体积是gcd(a,b),这种思想在我以前写的“瓶子和燃料”一题中有所体现。模拟一下就可以发现，之后的次数就是ax+by=gcd(a,b)的一组最小解。

套exgcd板子就行了，但是注意取最小值的那一部分，其实感觉每个题取最小值的方法都各有千秋，都要独立思考，这是关键。

一个不错的题解，侵删。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll ;

ll a,b,x,y,ans;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-y*(a/b);
    return d;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ans=exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld
",ans);
    a/=ans,b/=ans;
    while(x>0) x-=b,y+=a;
    while(x+b<=0&&y>=a) x+=b,y-=a;
    printf("%lld %lld",-x,y);
    return 0;
}

ps:while(x>0)那里如果写成while(x)竟会死循环，还是老实一点吧。

Ep3 同余方程 Luogu P1082

把同余方程转一下。直接套exgcd模板，取最小值部分，lyd老师的讲解：

“用exgcd求出一组特解x0,y0,则x0就是原方程的一个解，通解为所有膜b与x0同余的整数，通过取模操作把解的范围移动到1~b”之间，就得到了最小正整数解。”

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)  
    {  
          x=1;  
          y=0;  
          return a;  
    }  
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);  
    int t=x;  
    x=y;  
    y=t-a/b*y;  
    return r;  

}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    cout<<(x+b)%b;
    return 0;
}