最长上升子序列的两种解法

常规思路：

定义 dp[i]:=以a[i]为末尾元素的最长上升子序列的长度,

以a[i]结尾的上升序列是：

只包含a[i]的序列,

在满足j<i并且aj<ai的以aj为末尾的上升子序列末尾追加上ai得到的子序列。

两者之一。

这样递推关系：dp[i]=max(1,dp[j]+1|j<i&&a[j]<a[i])   就能在O(n^2)的时间内解决问题.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <map>
#include <queue>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))

#define ll long long
#define inf 0x7f7f7f7f
#define lc l,m,rt<<1
#define rc m + 1,r,rt<<1|1
#define pi acos(-1.0)

#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   (x) < (y) ? (x) : (y)
#define Max(x, y)   (x) < (y) ? (y) : (x)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define E(x)        (1 << (x))
#define iabs(x)     (x) < 0 ? -(x) : (x)
#define OUT(x)  printf("%I64d
", x)
#define lowbit(x)   (x)&(-x)
#define Read()  freopen("a.txt", "r", stdin)
#define Write() freopen("b.txt", "w", stdout);
#define maxn 100010
#define mod 1000000007
using namespace std;
int a[1001],dp[1001];
int n;
void solve()
{
    int res=0;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[i]>a[j])
            {
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        res=max(dp[i],res);
    }
    printf("%d
",res);
}
int main()
{
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    solve();
    return 0;
}

但是如果重新定义递推关系:

dp[i]:=长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值(不存在就是INF) 

最开始dp[i]的值都初始化为INF,然后由前到后考虑数列的元素,对于每个aj,如果i==0或者dp[i-1]<a[j]的话,就有dp[i]=min(dp[i],aj)进行更新,最终找出使得

dp[i]<INF的最大i+1就是结果,之间实现也是O(n^2)的复杂度,但是还可以进一步优化.

首先dp数列中除INF外是单调递增的,所以可以知道对于每个aj最多只需要一次更新,对于这次更新究竟在什么位置,不必每个遍历,二分搜索就行.

复杂度为O(nlogn).

low_bound函数从已经排好序的序列a中利用二分搜索出指向ai>=k的ai的最小的指针,

upper_bound指向满足ai>k的ai的最小指针。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <map>
#include <queue>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))

#define ll long long
#define inf 0x7f7f7f7f
#define lc l,m,rt<<1
#define rc m + 1,r,rt<<1|1
#define pi acos(-1.0)

#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   (x) < (y) ? (x) : (y)
#define Max(x, y)   (x) < (y) ? (y) : (x)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define E(x)        (1 << (x))
#define iabs(x)     (x) < 0 ? -(x) : (x)
#define OUT(x)  printf("%I64d
", x)
#define lowbit(x)   (x)&(-x)
#define Read()  freopen("a.txt", "r", stdin)
#define Write() freopen("b.txt", "w", stdout);
#define maxn 100010
#define mod 1000000007
using namespace std;
int a[50001],dp[50001];
int n;
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++) dp[i]=inf;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        *lower_bound(dp,dp+n,a[i]) = a[i];
    }
    printf("%d
",lower_bound(dp,dp+n,inf)-dp);
}
int main()
{
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    solve();
    return 0;
}