朴素筛素数和线性筛素数

1. Eratosthenes筛法（埃氏筛）

流程：对于每一个质数(p)，标注出范围内所有(p)的倍数为合数，剩下的就是质数。

int cnt, prm[MAX], v[MAX];

void Eratosthenes()
{
	for (int i = 2; i <= N; i++)
		if (!v[i]) {//如果未被标记，则是质数
			prm[++cnt] = i;
			for (int j = 2; i * j <= N; j++)
				v[i * j] = 1;//标记所有i的倍数
		}
}

复杂度为(O(nloglogn))

感性理解：每个质数都要在(N)范围内筛出所有倍数，运算量为

[frac N2 + frac N3 + frac N5 +.... = N(frac 12+frac 13 + frac 15+...) ]

我们知道调和和(1+frac 12+ frac 13+...+ frac 1n)积分估值是趋近于(ln n)的。同时由质数定理，(N)很大时，质数的密度为(frac 1{lnn})。可以近似认为平均每(ln n)个数中有一个质数，计第(i)个质数为所以“质数调和级数”约为

[1+frac 12+ frac 13+...+ frac 1{lnn} = lnlnn ]

最后就出现了两个(log)。

证明：知乎上看到的转载，很复杂，关键在于证明(sum_{ple n} frac 1p)的值。这篇文章证明了Mertens' theorems，即质数调和级数与(lnlnn)差为定值。

2. Eratosthenes的优化

1. 对于合数(n=p_1p_2...p_k)，显然至少有一个质因子是小于(sqrt n)的，于是只需要枚举到(sqrt n),可以保证之后没被标记的都是质数，合数均已被标记。
2. 当枚举到质数(p)时，(p)以下的质数都已经枚举过了，所以(2p,3p,5p,...)已经被标记，直接从(p^2)开始标记即可。

int cnt, prm[MAX], v[MAX];

void Eratosthenes()
{
	for (int i = 2; i * i <= N; i++) // 1
		if (!v[i]) {
			prm[++cnt] = i;
			for (int j = i; i * j <= N; j++) // 2
				v[i * j] = 1;
		}		
}

复杂度没有变化，但是降低了常数

3. Euler筛法（欧拉筛）

埃氏筛中每个合数会被所有质因子分别筛一次。欧拉筛巧妙的设计使得每个合数只会被筛一次。

流程：从小到大枚举每一个数，将小于等于该数最小质因子的所有质数与该数相乘并标记。并记录每个数的最小质因子供下次标记。

比如说当前枚举到(7 imes11 = 77)，其最小质因子为7，那么将(2 imes77,3 imes77,5 imes77,7 imes77)标记即可。

为什么这样是线性的？如果合数分解(n = p_1p_2...p_k(p_1le p_2 le...))由于规定了“小于最小质因子的质数才会相乘标记”，(n)只会被(p_1(p_2p_3...p_k))的组合标记一次，即每个合数都由最小质因子来标记。如上文中(2 imes77)只会由2标记一次，而(11*77) 没有被标记，他的最小质因子为7，会在稍后被(7 * 121)标记。这样就做到的合数与标记筛除的一一对应。复杂度为(O(n))

void Euler()
{
	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		if (!v[i]) { //v[i]除去标记外，还记录每个数最小质因子的 
			v[i] = i;
			prm[++cnt] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
			//枚举小于等于v[i]的所有质数并标记 
			if (prm[j] > v[i] || prm[j] * i > N) break;
			v[prm[j] * i] = i;//记录其最小质因子 
		}
	}
}

在实际应用中欧拉要更常用，不过(loglogn)实在太小，而且欧拉筛常数稍大，两者的效率差距很小。