[HAOI2008]糖果传递

UPD on 2020.4.1:
感谢 OItby 神仙指出错误，已更正。欢迎别的神仙来指教 & 吊打本萌新

首先我们要用到一些均分纸牌的思想(已经理解这种思想的大佬请跳过):

设(A_i)表示第(i)个小朋友原有的糖果数量,

设(ave)表示所有小朋友糖果数量的平均数,

(X_i)表示第(i)个小朋友向左传的糖果数量。即：

①如果(X_i>0:quad) 第(i)个小朋友向左传(X_i)个糖果；

②否则如果(X_i<0:quad) 第(i)个小朋友向左传(|X_i|)个糖果。

所以该题的代码为：

Code：

#include<cstdio>
int a[101];
int n,x,s;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        x+=a[i];
    }
    x/=n;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        a[i]-=x;
        if(a[i]!=0)
        {
            ++s;
            a[i+1]+=a[i];
        }
    }
    printf("%d",s);
    return 0;
}

好现在让我们回到原题糖果传递上来。

看看刚刚设的什么：

设(A_i)表示第(i)个小朋友原有的糖果数量,

(ave)表示所有小朋友糖果数量的平均数,

(X_i)表示第(i)个小朋友向左传的糖果数量。

则由题可得方程：

[A_1+X_2-X_1=ave ]

[A_2+X_3-X_2=ave ]

[··· ]

[A_n+X_1-X_n=ave ]

即：

[A_i+X_{i+1}-X_i=ave(1le i<n) ]

[A_n+X_1-X_n=ave(i=n) ]

变形得：

[X_2=ave+X_1-A_1 ]

[X_3=ave+X_2-A_2=ave+(ave+X_1-A_1)-A_2=2ave-A_1-A_2+X_1 ]

[··· ]

[X_1=ave+X_n-A_n=n·ave-A_1-A_2-…-A_n+X_1 ]

这时我们设:

[C_1=A_1-ave ]

[C_2=A_1+A_2-ave ]

[··· ]

[C_n=A_1+A_2+…+A_n-n·ave ]

即设：

[C_i=sum_{j=1}^iA_j-i·ave(1le ile n) ]

则有:

[X_2=X_1-C_1 ]

[X_3=X_1-C_2 ]

[··· ]

[X_n=X_1-C_n ]

即：

[X_i=X_1-C_i ]

这时我们返回来看所求,要求传递价值最小，

这就是说，要求最小化

[|X_1|+|X_2|+···+|X_n| ]

而该式等于

[|X_1-C_1|+|X_1-C_2|+···+|X_1-C_n| ]

即求:

[MIN { sum_{i=1}^nX_i }=MIN { sum_{i=1}^nX_1-C_i } ]

这样就好办了，(C_i)是已知（额，至少是可以预处理出来）的，要想最小化上式，我们把(C_i)看成数轴上的一个个点，现在问题就转化成了找出一个点(X_1)，使得她到各个(C_i)上的点的距离和最小。

而这个点就是这(n)个点的中位数，后面有证明qwq

那么求出了(X_1)之后，根据

[X_2=X_1-C_1 ]

[X_3=X_1-C_2 ]

[··· ]

[X_n=X_1-C_n ]

这一坨柿子，我们可以求出(X_2,X_3…X_n),然后就可以偷税的得到所求的：

最小化

[|X_1|+|X_2|+···+|X_n| ]

啦233~~~

代码好丑，大家别嫌弃qwq：

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
#define inline il

typedef long long ll;
typedef long double ld;

const int inf = 0x7fffffff;
const int N = 1e6+1;

ll n;
ll a[N],c[N];
ll ave,ans,mid;

using namespace std;

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&a[i]),ave+=a[i];
	ave/=n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		c[i]=c[i-1]+ave-a[i-1];
	sort(c+1,c+n+1);
	mid=c[(n+1)/2];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans+=abs(mid-c[i]);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

附：数学证明

在数轴上有(n)个点，找出一个点(x)，使得她到各个点的距离和最小。

求证：该点表示的数就是这(n)个数的中位数。

如果我们把数轴上的点两两配对，最大的配最小的，次大的配次小的……

则到每组点最近的距离的点在这两个点中间，那么

如果有奇数个点，那么显然中间那个点便为所求。

∴该点表示的数是这(n)个数的中位数得证。

注：

有一些柿子在文中以不同的形式重复出现，主要是为了同时满足大佬和蒟蒻的需要。一些前面写了‘即…’并用

这个东西

框起来的一般是适合大佬的较严（bian）格（tai）数学写法，而其他的则是简明易懂的正常的、不变态的写法。