【NOIP】提高组2012 国王游戏

【题意】

恰逢H国国庆，国王邀请n位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右

手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这n位大臣排

成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每

位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右

手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，

使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

【算法】贪心（排序）+高精度

【题解】这是少数不用二分解决最大值最小化问题的题。

我们考虑将所有大臣按某种条件排序，从而满足该顺序最优。

考虑当前已有排序，其中某两位置是a1,b1和a2,b2，交换两个位置不能使答案最优需要满足的条件。

显然交换两位置对前后都没有影响，假设Σai=s，所以交换后不能使答案最优须满足：

$$max(frac{s}{b_1},frac{sa_1}{b_2})<max(frac{s}{b_2},frac{sa_2}{b_1})$$

将s提出来，

$$max(frac{1}{b_1},frac{a_1}{b_2})<max(frac{1}{b_2},frac{a_2}{b_1})$$

由于ai是正整数，故我们已知：

$$frac{1}{b_1}<frac{a_2}{b_1} , frac{1}{b_2}<frac{a_1}{b_2}$$

所以条件转化为：

$$frac{a_1}{b_2}<frac{a_2}{b_1}$$

即：

$$a_1b_1<a_2b_2$$

所以只要按aibi从小到大排序，一定最优。

为了找到适合排序的关键字，我们考虑某两位的交换会使排序更优的条件即可得知。

答案最大可以达到10000^1000即10^4000，要用高精度。（这是NOIP最后一次考高精度，以后不可能再考了）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1010,maxlen=5000;
struct cyc{int a,b,c;}a[maxn];
int n,lens,x,lmax,lena;
int sum[maxlen],ans[maxlen],maxs[maxlen];
bool cmp(cyc a,cyc b)
{return a.c<b.c;}
void cheng(int numi)
{
    int num=a[numi].a;x=0;
    for(int i=1;i<=lens;i++)
     {
         x+=sum[i]*num;
         sum[i]=x%10;
         x/=10;
     }
    while(x>0)sum[++lens]=x%10,x/=10;
//    printf("1...%d * lens=%d
",numi,lens);
//    for(int i=1;i<=lens;i++)printf("%d",sum[i]);printf("
");
}
void divs(int numi)
{
    int num=a[numi].b;x=0;
    for(int i=lens;i>=1;i--)
     {
         x=x*10+sum[i];
         ans[i]=x/num;
         x%=num;
     }
    lena=lens;
    while(ans[lena]==0&&lena>1)lena--;
//    printf("1...%d-1/%d / lens=%d
",numi,numi,lena);
//    for(int i=1;i<=lena;i++)printf("%d",ans[i]);printf("
");
    bool f=1;
    if(lena>lmax)f=0;else if(lena<lmax)f=1;else
     for(int i=lena;i>=1;i--)
      if(ans[i]>maxs[i]){f=0;break;}else if(ans[i]<maxs[i]){f=1;break;}
    if(!f)
     {
         for(int i=1;i<=lena;i++)maxs[i]=ans[i];
         lmax=lena;
     }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)scanf("%d%d",&a[i].a,&a[i].b),a[i].c=a[i].a*a[i].b;
    sort(a+2,a+n+2,cmp);//for(int i=1;i<=n+1;i++)printf("%d %d
",a[i].a,a[i].b);
    sum[(lens=1)]=1;cheng(1);maxs[(lmax=1)]=0;
    for(int i=2;i<=n+1;i++)divs(i),cheng(i);
    for(int i=lmax;i>=1;i--)printf("%d",maxs[i]);
    return 0;
}