【BZOJ】2134: 单选错位 期望DP

【题意】有n道题，第i道题有ai个选项。把第i道题的正确答案填到第i+1道题上（n填到1），问期望做对几道题。n<=10^7。

【算法】期望DP

【题解】正确答案的随机分布不受某道题填到后面是否正确影响，因此每道题对的期望都是独立的。

从排列的角度分析，对每道题有a[i-1]个选择和a[i]个选项，共a[i-1]*a[i]种排列，其中只有min(a[i-1],ai)种排列使这道题正确，所以

$$E(i)=frac{Min(a[i-1],a[i])}{a[i-1]*a[i]}=frac{1}{Max(a[i-1],a[i])}$$

然后根据期望的线性相加。

复杂度O(n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10000000;
int n,a[maxn];
int main()
{
    int A,B,C;
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,&a[1]);
    for (int i=2;i<=n;i++) a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i] = a[i] % C + 1; 
    a[0]=a[n];
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1.0/max(a[i],a[i-1]);
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
} 

如果实在纠结前面题对和后面题对有一题重合，考虑期望可以线性相加，所以实际上是可以拆出来计算的。