【51nod】1766 树上的最远点对

【题意】给定n个点的树，m次求[a,b]和[c,d]中各选出一个点的最大距离。abcd是标号区间，n,m<=10^5

【算法】LCA+树的直径理论+线段树

【题解】

树的直径性质：距离树上任意点最远的点一定是直径的一端。此结论在点集中依然试用。

那么根据性质，容易得到答案路径的两端一定是[a,b]直径的一端和[c,d]直径的一端的连线。

（考虑任意一个点集AB的点，在点集A中距离最远的是a或b，在点集B中距离最远的是c或d，故直径的端点只能是abcd）

从而，两个区间的直径可以快速合并成一个区间的直径，即直径的可并性。

因为直径可并和区间标号连续，所以可以用线段树维护一段区间的直径并查询。

连线用LCA解决，倍增常数较大会TLE，使用树链剖分或RMQ-LCA皆可。

复杂度O(n log²n)。

【注意】

RMQ查询时注意判断l>r时swap。

线段树合并时要从左右子树内部取答案，而询问不能从内部取答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
    do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
int first[maxn],a[maxn*3],b[maxn],logs[maxn*3],d[maxn*3][50],p[maxn*3][50],deep[maxn],dis[maxn],tot,cnt;
int L[maxn*4],R[maxn*4],n,m;
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*2];
struct cyc{int num,A,B;}t[maxn*4];

int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
void insert(int u,int v,int w){cnt++;e[cnt].v=v;e[cnt].w=w;e[cnt].from=first[u];first[u]=cnt;}
void dfs(int x,int fa){
    a[++tot]=x;b[x]=tot;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;
        dis[e[i].v]=dis[x]+e[i].w;
        dfs(e[i].v,x);
        a[++tot]=x;
    }
}
void RMQ_init(){
    logs[0]=-1;for(int i=1;i<=tot;i++)logs[i]=logs[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)d[i][0]=deep[a[i]],p[i][0]=i;
    for(int j=1;(1<<j)<=tot;j++){
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=tot;i++)if(d[i][j-1]<d[i+(1<<(j-1))][j-1]){
            d[i][j]=d[i][j-1];p[i][j]=p[i][j-1];
        }else{d[i][j]=d[i+(1<<(j-1))][j-1];p[i][j]=p[i+(1<<(j-1))][j-1];}
    }
}
int lca(int l,int r){
    l=b[l],r=b[r];
    if(l>r)swap(l,r);//
    int k=logs[r-l+1];
    k=d[l][k]<d[r-(1<<k)+1][k]?p[l][k]:p[r-(1<<k)+1][k];
    return dis[a[l]]+dis[a[r]]-2*dis[a[k]];
}
cyc tr(bool ok,cyc L,cyc R){
    cyc x=(cyc){-1,0,0};
    if(!ok){
        if(L.A==0)return R;
        if(R.A==0)return L;
        x=L;
        if(R.num>x.num)x=R;
    }
    int num=lca(L.A,R.A);
    if(num>x.num)x=(cyc){num,L.A,R.A};
    num=lca(L.A,R.B);
    if(num>x.num)x=(cyc){num,L.A,R.B};
    num=lca(L.B,R.A);
    if(num>x.num)x=(cyc){num,L.B,R.A};
    num=lca(L.B,R.B);
    if(num>x.num)x=(cyc){num,L.B,R.B};
    return x;
}
void build(int k,int l,int r){
    L[k]=l;R[k]=r;
    if(l==r)t[k]=(cyc){0,l,r};
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
        t[k]=tr(0,t[k<<1],t[k<<1|1]);
    }
}
cyc ask(int k,int l,int r){
    if(l<=L[k]&&R[k]<=r)return t[k];
    else{
        int mid=(L[k]+R[k])>>1;
        cyc x=(cyc){0,0,0};
        if(l<=mid)x=ask(k<<1,l,r);
        if(r>mid)x=tr(0,x,ask(k<<1|1,l,r));
        return x;
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        insert(u,v,w);insert(v,u,w);
    }
    tot=0;dfs(1,0);RMQ_init();build(1,1,n);
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read(),z=read(),w=read();
        cyc q=tr(1,ask(1,x,y),ask(1,z,w));
        printf("%d
",q.num);
    }
    return 0;
}