SoftMax回归模型，是logistic回归在多分类问题的推广，即现在logistic回归数据中的标签y不止有0-1两个值，而是可以取k个值，softmax回归对诸如MNIST手写识别库等分类很有用，该问题有0-9 这10个数字，softmax是一种supervised learning方法。
在logistic中，训练集由 
个已标记的样本构成：
，其中输入特征
（特征向量 
的维度为 
，其中 
对应截距项 ）， logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 
。假设函数(hypothesis function) 如下：
损失函数为负log损失函数：
![egin{align}
J( heta) = -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)}))
ight]
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/f/a/6/fa6565f1e7b91831e306ec404ccc1156.png)
找到使得损失函数最小时的模型参数 
，带入假设函数即可求解模型。
在softmax回归中，对于训练集 中的类标 
可以取 
个不同的值（而不是 2 个），即有 
(注意不是由0开始), 在MNIST中有K=10个类别。
在softmax回归中，对于输入x，要计算x分别属于每个类别j的概率
，即求得x分别属于每一类的概率，因此假设函数要设定为输出一个k维向量，每个维度代表x被分为每个类别的概率，假设函数 
形式如下：
请注意 
这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。当类别数 
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 时，softmax 回归的假设函数为：
，对该式进行化简得到：
另 
来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 
，另一个类别概率的为 
，这与 logistic回归是一致的。
其中 
是模型的参数。把参数 表示为矩阵形式有， 是一个 
的矩阵，该矩阵是将 
按行罗列起来得到的：
有个假设函数（Hypothesis Function），下面来看代价函数，根据代价函数求解出最优参数值带入假设函数即可求得最终的模型，先引入函数
，对于该函数有：
值为真的表达式 
值为假的表达式 
。
举例来说，表达式 
的值为1 ，
的值为 0 。
则softmax的损失函数为：
![egin{align}
J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j
ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }}
ight]
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/7/6/3/7634eb3b08dc003aa4591a95824d4fbd.png)
当k=2时，即有logistic的形式，下边是推倒：
另上式中的
便得到了logistic回归的损失函数。
可以看到，softmax与logistic的损失函数只是k的取值不同而已，且在softmax中将类别x归为类别j的概率为：
.
需要注意的一个问题是softmax回归中的模型参数化问题，即softmax的参数集是“冗余的”。
假设从参数向量 
中减去了向量 
，这时，每一个 都变成了 
(
)。此时假设函数变成了以下的式子：
也就是说，从 中减去 完全不影响假设函数的预测结果，这就说明 Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 
，也就是说如果参数集合 
是代价函数 
的极小值点，那么
同样也是它的极小值点，其中 可以是任意向量，到底是什么造成的呢？从宏观上可以这么理解，因为此时的损失函数不是严格非凸的，也就是说在局部最小值点附近是一个”平坦”的，所以在这个参数附近的值都是一样的了。平坦假设函数空间的Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。因此使 最小化的解不是唯一的。但此时 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。
还有一个值得注意的地方是：当 
时，我们总是可以将 
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 （或者其他 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 个参数 （其中 
），我们可以令 
，只优化剩余的 
个参数，这样算法依然能够正常工作。比如logistic就是这样的。
在实际应用中，为了使算法看起来更直观更清楚，往往保留所有参数 
，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
目前对损失函数 的最小化还没有封闭解（closed-form），因此使用迭代的方法求解，如（Gradient Descent或者L-BFGS），经过求导，得到的梯度公式：
![egin{align}
abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} left( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta)
ight)
ight] }
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/5/9/e/59ef406cef112eb75e54808b560587c9.png)
本身是一个向量，它的第 
个元素 
是 对 的第 个分量的偏导数。在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: 
(）。（ 为方向，a代表在这个方向的步长）
由于参数数量的庞大，所以可能需要权重衰减项来防止过拟合，一般的算法中都会有该项。添加一个权重衰减项 
来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：
![egin{align}
J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j
ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }}
ight]
+ frac{lambda}{2} sum_{i=1}^k sum_{j=0}^n heta_{ij}^2
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/4/7/1/471592d82c7f51526bb3876c6b0f868d.png)
有了这个权重衰减项以后 (
)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 的导数，如下：
![egin{align}
abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} ( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta) )
ight] } + lambda heta_j
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/3/a/f/3afb4b9181a3063ddc639099bc919197.png)
通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
最后一个问题在logistic的文章里提到过，关于分类器选择的问题，是使用logistic建立k个分类器呢，还是直接使用softmax回归，这取决于数据之间是否是互斥的，k-logistic算法可以解决互斥问题，而softmax不可以解决，比如将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。 (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片
考虑到处理的问题的不同，在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。最后补一张k-logistic的图片：
