本文承接上一篇 约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件，将详解一些拉格朗日对偶的内容。都是一些在优化理论中比较简单的问题或者一些特例，复杂的没见过，但是简单的刚接触都感觉如洪水猛兽一般，所以当真是学海无涯。
在优化理论中，目标函数 $f(x)$ 会有多种形式：如果目标函数和约束条件都为变量 $x$ 的线性函数, 称该问题为线性规划； 如果目标函数为二次函数, 约束条件为线性函数, 称该最优化问题为二次规划; 如果目标函数或者约束条件均为非线性函数, 称该最优化问题为非线性规划。每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题，对偶问题有非常良好的性质，以下列举几个：
- 对偶问题的对偶是原问题；
- 无论原始问题是否是凸的，对偶问题都是凸优化问题；
- 对偶问题可以给出原始问题一个下界；
- 当满足一定条件时，原始问题与对偶问题的解是完全等价的；
比如下边这个例子，虽然原始问题非凸，但是对偶问题是凸的：
egin{aligned}
&min_x left ( x^4-50x^2+100x
ight ) \
& s.t. x ge 4.5
end{aligned}
原始问题
开始步入正题，首先给出不等式约束优化问题：
egin{aligned}
&min_x f(x) \
&s.t. h_i(x) = 0 , i = 1,2,...,m \
& g_j(x) le 0, j = 1,2,...,n
end{aligned}
定义 Lagrangian 如下：
[ L(x,alpha,eta) =f(x) + sum_{i=1}^m alpha_i h_i(x) + sum_{j=1}^neta_jg_j(x) ]
根据以上 Lagrangian 便可以得到一个重要结论：
[ f(x) =max_{alpha eta; eta_ige 0} L(x,alpha,eta) > L(x,alpha,eta) ag{*}]
(*) 式很容易验证，因为满足约束条件的 $x$ 会使得 $h_i(x)=0$ ，因此第二项消掉了；而 $g_j(x) le 0$ ，并且使得 $eta_j ge 0$，因此会有 $eta_j g_j(x) le 0$ ，所以最大值只能在它们都取零的时候得到，这个时候就只剩下 $f(x)$ 了。反之如果有任意一个约束条件不满足，则只需令其相应的乘子 $ ightarrow +infty$ ，则会得到 $L(x,alpha,eta) ightarrow +infty $，这样将导致问题无解，因此必须满足约束条件。经过这样一转变，约束都融合到了一起而得到如下的无约束的优化目标：
[min_x f(x) = min_x max_{alpha,eta; eta_ige 0} L(x,alpha,eta) ]
对偶问题
上式与原优化目标等价，将之称作原始问题 , 将原始问题的解记做 $p^*$，如此便把带约束问题转化为了无约束的原始问题，其实只是一个形式上的重写，方便找到其对应的对偶问题，首先为对偶问题定义一个对偶函数（dual function） ：
[ D(alpha,eta) = min_x L(x,alpha,eta) ]
有了对偶函数就可给出对偶问题了，与原始问题的形式非常类似，只是把 min 和 max 交换了一下：
[max_{alpha ,eta; eta_ige 0} min_x L(x,alpha,eta) ]
然后定义对偶问题的最优解即关于 $alpha eta$ 的函数：
[ d^* = max_{alpha,eta; eta_ige 0} D(alpha,eta)]
对偶问题和原始问题的最优解并不相等，而是满足的如下关系：
[d^* le p^* ]
直观地，可以理解为最小的里最大的那个要比最大的中最小的那个要大。具体的证明过程如下：
证明在这里，首先这里的约束要全部满足，对偶问题与原始问题的关系如下：
[ D(alpha,eta) =min_x L(x,alpha,eta) le L(x,alpha,eta) le max_{alpha,eta,eta_i ge 0}L(x,alpha,eta) =f(x)]
即 $D(alpha,eta) le f(x)$，所以自然而然可得:
[d^*= max_{alpha,eta;eta_i ge 0} D(alpha,eta) le min_x f(x) =p^* ]
即现在通过对偶性，为原始问题引入一个下界，$d^* le p^*$ .
这个性质便叫做弱对偶性（weak duality），对于所有优化问题都成立，即使原始问题非凸。这里还有两个概念： $f(x) – D(alpha,eta)$ 叫做对偶间隔（duality gap）， $p^* –d^*$ 叫做最优对偶间隔（optimal duality gap）。
之前提过无论原始问题是什么形式，对偶问题总是一个凸优化的问题，这样对于那些难以求解的原始问题 （甚至是 NP 问题），均可以通过转化为偶问题，通过优化这个对偶问题来得到原始问题的一个下界， 与弱对偶性相对应的有一个强对偶性（strong duality） ，强对偶即满足：
[d^* = p^*]
强对偶是一个非常好的性质，因为在强对偶成立的情况下，可以通过求解对偶问题来得到原始问题的解，在 SVM 中就是这样做的。当然并不是所有的对偶问题都满足强对偶性 ，在 SVM 中是直接假定了强对偶性的成立，其实只要满足一些条件，强对偶性是成立的，比如说 Slater 条件与KKT条件。
Slater 条件
若原始问题为凸优化问题，且存在严格满足约束条件的点 $x$ ，这里的“严格”是指 $g_i(x)≤0$ 中的“$le$”严格取到“$<$”，即存在 $x$ 满足 $g_i(x)<0$ ,$i = 1,2,…,n$ ，则存在 $x^*,alpha^* ,eta^*$ 使得 $x^*$ 是原始问题的解， $alpha^* ,eta^*$ 是对偶问题的解，且满足：
[p^* = d^* = L(x^*,alpha^* ,eta^*)]
也就是说如果原始问题是凸优化问题并且满足 Slater 条件的话，那么强对偶性成立。需要注意的是，这里只是指出了强对偶成立的一种情况，并不是唯一的情况。例如，对于某些非凸优化的问题，强对偶也成立。SVM 中的原始问题 是一个凸优化问题（二次规划也属于凸优化问题），Slater 条件在 SVM 中指的是存在一个超平面可将数据分隔开，即数据是线性可分的。当数据不可分时，强对偶是不成立的，这个时候寻找分隔平面这个问题本身也就是没有意义了，所以对于不可分的情况预先加个 kernel 就可以了。
KKT条件
假设 $x^*$ 与 $alpha^*,eta^*$ 分别是原始问题（并不一定是凸的）和对偶问题的最优解，且满足强对偶性，则相应的极值的关系满足：
egin{aligned}
f(x^*) &= d^* = p^* =D(alpha^*,eta^*) \
&=min_x f(x)+ sum_{i = 1}^m alpha_i^*h_i(x) + sum_{j=1}^neta_j^*g_j(x) \
& le f(x^*)+ sum_{i = 1}^m alpha_i^*h_i(x^*) + sum_{j=1}^neta_j^*g_j(x^*) \
&le f(x^*)
end{aligned}
这里第一个不等式成立是因为 $x^*$ 为 $L(x,alpha^*,eta^*)$ 的一个极大值点，最后一个不等式成立是因为 $h_i(x^*) = 0$ ,且 $g_j(x^*) le 0 ,eta_j ge 0$，（$eta_j ge 0$ 是之前 (*) 式的约束条件）因此这一系列的式子里的不等号全部都可以换成等号。根据公式还可以得到两个结论：
1）第一个不等式成立是因为 $x^*$ 为 $L(x,alpha^*,eta^*)$ 的一个极大值点，由此可得:
[ abla_{x^*} L(x,alpha^*,eta^*) = 0]
2）第二个不等式其实就是之前的 (*) 式，$eta_j^*g_j(x^*)$ 都是非正的，所以这里有：
[eta_j^* g_j(x^*)=0, i=1,2,…,m]
也就是说如果 $eta_j^*>0$，那么必定有 $g_j(x^*)=0$ ；反过来，如果 $g_j(x^*)<0$ 那么可以得到 $eta_j^*=0$ ，即：
[left { egin{aligned}eta^*_j >0 Rightarrow g^*_j(x) = 0 \ g^*_j(x) < 0 Rightarroweta_j^*=0end{aligned} ight .]
这些条件都似曾相识，把它们写到一起，哎？不就是传说中的 KKT (Karush-Kuhn-Tucker) 条件么:
egin{align} abla_x L(x,alpha,eta) &= 0 \ eta_jg_j(x) &= 0 , j=1,2,...,n\ h_i(x)&= 0 , i=1,2,...,m \ g_j(x) &le 0 , j=1,2,...,n \ eta_j &ge 0 , j=1,2,...,n \ end{align}
总结来说就是说任何满足强对偶性的优化问题，只要其目标函数与约束函数可微，任一对原始问题与对偶问题的解都是满足 KKT 条件的。即满足强对偶性的优化问题中，若 $x^*$ 为原始问题的最优解，$alpha^*,eta^*$ 为对偶问题的最优解，则可得 $x^*,alpha^*,eta^*$ 满足 KKT 条件。不知道够不够清楚，书中原话（P243）是这样的$^{7.1}$：
上面只是说明了必要性，当满足原始问题为凸优化问题时，必要性也是满足的，也就是说当原始问题是凸优化问题,且存在 $x^*,alpha^*,eta^*$ 满足 KKT 条件，那么它们分别是原始问题和对偶问题的极值点并且强对偶性成立，证明如下：
首先原始问题是凸优化问题，固定 $alpha^*,eta^*$ 之后对偶问题 $D(alpha^*,eta^*)$ 也是一个凸优化问题，$x^*$ 是 $L(x,alpha^*,eta^*)$ 的极值点：
egin{aligned}
D(alpha^*,eta^*)
&= min_x L(x,alpha^*,eta^*) \
&= L(x^*,alpha^*,eta^*) \
& = f(x^*)+sum_{i=1}^malpha_i^*h_i(x^*)+sum_{j=1}^neta_j^*g_j(x^*) \
&= f(x^*)
end{aligned}
最后一个式子是根据 KKT 条件中的 $h_i(x) = 0$ 与 $eta_jg_j(x) = 0$ 得到的。这样一来，就证明了对偶间隔为零，也就是说，强对偶成立。 所以当原始问题为凸优化问题时，书中的原话（P244）如下$^{7.1}$：
关于对偶的问题到此为止，其实都是很优化方法中比较简单的内容。总结一下。本文介绍了对偶的基本概念，对于一个约束优化问题，找到其对偶问题，当弱对偶成立时，可以得到原始问题的一个下界。而如果强对偶成立，则可以直接求解对偶问题来解决原始问题。 SVM 就是这样的。对偶问题由于性质良好一般比原始问题更容易求解，在 SVM 中通过引入对偶问题可以将问题表示成数据的内积形式从而使得 kernel trick 的应用更加自然）。此外，还有一些情况会同时求解对偶问题与原始问题 ，比如在迭代求解的过程中，通过判断对偶间隔的大小，可以得出一个有效的迭代停止条件。
参考文献
1. https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/15-duality.pdf
https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/16-kkt.pdf
2. http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/Duality.pdf
4. http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html
5. http://blog.pluskid.org/?p=702
6. http://blog.pluskid.org/?p=702
7.书籍 Convex Optimization Cambridge版 (7.1)| 统计学习方法 李航(7.2)