费马因式分解算法优化及素数判定

1. 费马因式分解

1> 对于任一个奇数n，n = ab = x²-y²

2> ∵ n = ab = (x+y)*(x-y)

    ∴ a = x + y, b = x-y

       x = (a+b)/2, y = (a-b)/2 (因为n为奇数，a, b必也为奇数，所以(a+b)和(a-b)必为偶数，故能被2整除，x, y为整数，x > y)

如：1 = 1*1 = 1² – 0²

     3 = 3*1 = 2² – 1²

     5 = 5*1 = 3² – 2²

     7 = 7*1 = 4² – 3²

     9 = 3*3 = 3² – 0²

2. 费马因式分解算法

1> y² = x² – n

∵ x² – n >= y² >= 0

∴x² >= n, x >= sqrt(n)

∴我们可以从x = sqrt(n)开始，计算x² – n为完全平方数即可求出x, y，然后求得a, b

2> python代码

def Fermat(num):
    x = int(math.sqrt(num));
    if x*x < num:
        x += 1;
    
    #y^2 = x^2 - num
    while(True):
        y2 = x*x - num;
        y = int(math.sqrt(y2));
        if y*y == y2:
            break;
        x += 1;

    return [x+y, x-y];

3>. 利用完全平方数十位和个位数值性质改进费马因式分解算法

完全平方数的最后两个十进制数字（个位和十位）一定是下列数对之一：{00, e1, e4, 25, o6, e9}， 证明见《完全平方数的末两位数字类型的另一种证明》

#PerfectSquare = {00, e1, e4, 25, o6, e9}
def CheckPerfectSquare(num):
    #tens = 3, mean it is a odd number, tens = 4, mean it is a even number, otherwise, tens equal the value
    digitList = [   {'unit' : 0, 'tens' : 0}, 
                    {'unit' : 1, 'tens' : 4},  
                    {'unit' : 4, 'tens' : 4},  
                    {'unit' : 5, 'tens' : 2},  
                    {'unit' : 6, 'tens' : 3},  
                    {'unit' : 9, 'tens' : 4}];
    unit = num % 10;
    tens = (num % 100) / 10;
    
    for item in digitList:
        if item['unit'] == unit:
            if item['tens'] < 3:
                return item['tens'] == tens;
            else:
                #Check is odd or even number, check the first bit
                return item['tens'] & 1 == tens & 1;
    return  False;

def Fermat(num):
    x = int(math.sqrt(num));
    if x*x < num:
        x += 1;
    
    times = 0;
    x0 = x;
    #y^2 = x^2 - num
    while(True):
        y2 = x*x - num;
        if CheckPerfectSquare(y2):
            times += 1;
            y = int(math.sqrt(y2));
            if y*y == y2:
                break;
        x += 1;

    print "Loop : ", x - x0 +1, ", check perfect square :", times;
    print "x :", x, ", y :", y;
    return [x+y, x-y];

测试结果：

可以看出，用了完全平方数的性质后，将原来需要计算y的开方和比较y²的次数减少了13次（86%），我们知道计算乘法和开方式非常耗费时间的，减少这些次数后可以大大提高算法效率

4. 费马因式分解最坏计算次数

x = (a+b)/2

∵ n = ab, b = n/a

∴ x = (a + n/a)/2

我们需求x的最大值，如果(a + n/a)是单调递增或递减的，我们很容易就得到x的最大值

设a >= b（b >=a 也一样）

则 a² >= ab = n

∴ a² >= n   (a <= n)

设f(a) =  a + n/a

f(a+1) = (a+1) + n/(a+1)

f(a+1) – f(a) = (a+1) + n/(a+1) – (a + n/a)

                   = 1 + n/(a+1) –  n/a

                   = [(a+1)a + na –n(a+1)]/a

                   = (a² –n + a)/[a(a+1)]

∵ a² >= n

∴ (a² –n + a) > 0

∴f(a+1) > f(a)

∴f(a)时单调递增的

∵a <= n

∴当a = n时，f(a)最大，x也最大，x = (n + n/n)/2 = (n+1)/2

∴费马因式分解最大次数 = x – sqrt(n) = (n+1)/2 – sqrt(n)

5. 费马因式分解算法和素数判定

思考：当费马因式分解算法为最坏次数时，n是什么数

当费马因式分解算法为最坏次数时，可知a = n, b = 1, x = (n+1)/2, y = (n-1)/2

貌似其因子为本身和1，这和素数的性质非常像，看第1部分的1到9的费马因式分解，貌似满足这种条件的都是素数，那么大胆猜想一下：

假设：如果奇数n的费马因式分解式 = n*1， 那么n为一个素数

反证：n不为素数, 则x在最大值之前就使x² – n = y²

即需证明，当n不为素数，n = ab = (x+y)(x-y), x < (n+1)/2

那么 n = ab (n > a)

根据第4部分证明知 x = (a + n/a)/2 ，且f(a) =  a + n/a 是单调递增的

∵a < n

∴f(a) < f(n) < n + n/n = n + 1

∴x < (n+1)/2

∴x不可能到最大次数，得证

增加部分code和测试如下：

if __name__ == '__main__':
    while(True) :
        num = int(raw_input("Input a odd num for fermat : "));
        if(1 == num & 1):
            break;
    
    retList = Fermat(num);
    print num, "=", retList[0], "*", retList[1];
    if num > 1 and 1 == retList[1]:
        print num, "is a prime number";