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  • bzoj1069-最大土地面积

    题目

    给定(n (nle 2000))个坐标,求四个坐标使得围起来的四边形面积最大。

    分析

    最暴力的想法是枚举四个点,然而肯定超时。接着不知道怎么想到中途相遇,然而一点关系都没有。这里用到了一个单调性:
    如果在凸包上确定了一个点(x),令(x)逆时针方向的第一个点为(y),这时确定了一个点(z)使得(S_{ riangle XYZ}最大,那么当)y(逆时针移动的时候,使得三角形面积最大的点)z(就会不动或逆时针移动。这个性质发展成为我们说的旋转卡壳。 这就是说,如果在凸包上确定了一个点,那么我们可以)O(n)(求出包含这个点的所有凸包上的四边形的最大面积。 所以我们可以枚举所有点,在)O(n^2)$中求出答案。

    代码

    这里有几个地方需要注意到。

    1. 求凸包极角排序的时候,选择的基础点一定是最下面,最左边的,而不可以仅仅是最下面的,否则会出现(0)(-0)这种情况。
    2. 在求凸包单调栈弹出的时候,要用小于等于号,否则如果有重点的情况就会出现问题。
    3. 在计算答案时,每次移动(j)的时候要记得更新(s1)(s2)
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    const int maxn=2e3+10;
    struct node {
    	double x,y;
    } a[maxn],sta[maxn];
    int top=0;
    double P(double x) {
    	return x*x;
    }
    double dis(node a,node b) {
    	return sqrt(P(a.x-b.x)+P(a.y-b.y));
    }
    double cross(node a,node b,node c) {
    	return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
    }
    bool cmp(node e,node f) {
    	double tmp=cross(a[1],e,f);
    	if (tmp>0) return true;
    	if (tmp<0) return false;
    	return dis(a[1],e)<dis(a[1],f);
    }
    int main() {
    	#ifndef ONLINE_JUDGE
    		freopen("test.in","r",stdin);
    		freopen("my.out","w",stdout);
    	#endif
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	for (int i=1;i<=n;++i) {
    		scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    		if (a[i].y<a[1].y || (a[i].y==a[1].y && a[i].x<a[1].x)) swap(a[1],a[i]); // here
    	}
    	sort(a+2,a+n+1,cmp);
    	sta[top=1]=a[1];
    	for (int i=2;i<=n;++i) {
    		while (top>1 && cross(sta[top-1],sta[top],a[i])<=0) --top; // here
    		sta[++top]=a[i];
    	}
    	if (top<=4) {
    		double ans=0;
    		if (top>2) ans=cross(sta[1],sta[2],sta[3]);
    		if (top==4) ans+=cross(sta[1],sta[3],sta[4]);
    		ans/=2;
    		printf("%.3lf
    ",ans);
    		return 0;
    	}
    	double ans=0;
    	for (int i=1;i<=top-2;++i) {
    		int j=(i+1)%top+1,k=i%top+1,l,id=j%top+1;
    		double s1=cross(sta[i],sta[k],sta[j])/2;
    		double s2=0;
    		for (l=id;l!=i;l=l%top+1) {
    			double tmp=cross(sta[i],sta[j],sta[l])/2;
    			if (tmp>s2) s2=tmp,id=l;
    		}
    		l=id;
    		ans=max(ans,s1+s2);
    		for (j=j%top+1;j%top+1!=i;j=j%top+1) {
    			s1=cross(sta[i],sta[k],sta[j])/2; // here
    			s2=cross(sta[i],sta[j],sta[l])/2; // here
    			if (l==j) l=l%top+1,s2=cross(sta[i],sta[j],sta[l])/2;
    			while (k%top+1!=j && cross(sta[i],sta[k%top+1],sta[j])/2>s1) k=k%top+1,s1=cross(sta[i],sta[k],sta[j])/2;	
    			while (l%top+1!=i && cross(sta[i],sta[j],sta[l%top+1])/2>s2) l=l%top+1,s2=cross(sta[i],sta[j],sta[l])/2;
    			ans=max(ans,s1+s2);
    		}
    	}
    	printf("%.3lf
    ",ans);
    }
    
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