积性函数
定义
积性函数是指一个定义域为正整数 $N$ 的算术函数 $f(n)$ ， 有如下性质：$f(1) = 1$ ，且 $forall a,b in mathbb{N}^{+} quad $ 且 $quad gcd(a,b) = 1$ ，有 $f(ab) = f(a) f(b)$。
若对于任意的 $a,b$ ， $f$ 均满足上述性质，则称此函数为完全积性函数。
积性函数举例：
- $varphi (n)$－欧拉$varphi$函数，计算与$n$ 互质的正整数之数目-
(mu (n))－默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
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(gcd(n,k)) －最大公因数，当 (k) 固定的情况
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(sigma _{k}(n)) - 除数函数，(n) 的所有正因数的 (k) 次幂之和，当中 (k) 可为任何复数。在特例中有：
(sigma_0(n) = d(n)) - (n) 的正因数数目
(sigma _{1}(n) = sigma (n)) - (n) 的所有正因数之和
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(I(n)) －不变的函数，定义为 (I(n) = 1) （完全积性）
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(Id(n)) －单位函数，定义为 (Id(n) = n) （完全积性）
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(Id_k(n)) －幂函数，对于任何复数、实数 (k)，定义为 (Id_k(n) = n^k) （完全积性）
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(varepsilon(n)) －定义为：若 (n = 1，varepsilon(n) = 1)；若 (n > 1，varepsilon(n) = 0) 。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
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((n/p)) －勒让德符号，(p) 是固定质数（完全积性）
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(lambda(n)) －刘维尔函数，关于能整除 (n) 的质因子的数目
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(gamma(n)) - 定义为 (gamma(n) = (-1) ^ {omega(n)})，在此加性函数 (omega(n)) 是不同能整除n的质数的数目
性质
积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。
即是说，若将 $n$ 表示成质因数分解式如 ${p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} cdots {p_{k}}^{a_{k}}$，则 $f(n) = f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}}) cdots f({p_{k}}^{a_{k}}) $。
若f为积性函数且 $f(p^{n}) = f(p)^{n}$，则 $f$ 为完全积性函数。
那么，这玩意跟狄利克雷卷积有什么关系呢？
这里有一条：两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此，以卷积为群的运算，所有积性函数组成了一个子群。
常见积性函数筛法
注意到积性函数有一条十分重要的性质：任意积性函数都可以用线性筛 (O(n)) 求得 。
不知道线性筛的，请出门右转。
Möbius 函数
定义
莫比乌斯函数（$Mddot{o}bius$ 函数） $mu$ 是指以下的函数：
设正整数 $N$ 按照算数基本定理分解质因数为 $N = {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} cdots {p_{m}}^{a_{m}}$ ，定义函数：
$$mu(N) = egin{cases}0 & exists i in left[1,m ight] ,c_i > 1 \ 1 & mequiv 0pmod{2} ,forall i in left[1,m ight] ,c_i = 1 \ -1 & mequiv 1pmod{2} ,forall i in left[1,m ight] ,c_i = 1end{cases}$$
注：若 (mu(a) = 0) ，则 (a) 是某个完全平方数的整数倍。
$Mddot{o}bius$ 函数也可表示为以下形式：
$$mu(N) = delta^{Omega(N)}_{omega(N)} lambda(N)$$
其中 $delta$ 是 $Kronecker$ 符号， $lambda(N)$ 是刘维尔函数， $omega(N)$ 是不同的素因子的数量 $Ñ$ ，和 $Omega(N)$ 是素因子数 $Ñ$，具有多重性计数。（摘自百度）
看不懂是不是，我也看不懂，(cdots) 有兴趣的读者可以自己上百度了解了解。
函数的前 $50$ 个值如下：
性质
- $Mddot{o}bius$ 函数是积性的（即，只要 $gcd(a,b) = 1$，$mu(ab) = mu(a) mu(b)$）-
(sum_{d mid N}mu(d) = egin{cases}1 & n = 1\ 0 & n e 1end{cases})
上述等式可推出重要的莫比乌斯反演公式，并且是 (mu) 在乘法和算术函数理论中具有相关性的主要原因。
(mu(n)) 在组合学中的其他应用与组合群和组合枚举中 (Pólya) 枚举定理的使用有关。（摘自百度，这些内容当然现在不会写，以后有空再写）