hdu 4609 FFT

题意：给出一堆数，问从这些数中取3个能组成三角形的概率？

sol：其实就是问从这些数里取3个组成三角形有多少种取法

脑洞大开的解法：用FFT

设一开始的数是1 3 3 4

作一个向量x，其中x[i]=边长为i的边的个数

那么就有x=[0 1 0 2 1 0 0 0 0]

令y=x，对x和y作DFT，得到dx和dy。令dn=dx*dy，再对dn作IDFT得到n

那么就得到n=[0 0 1 0 4 2 4 4 1 0 ]

其中n[i]=在x和y中各选一条边，使得两条边之和为i有几种方案

这时得到的n并不好，包含了各种重复的方案。还得减一下

最后得到的n=[0 0 0 0 2 1 1 2 0]

然后对n做奇怪的操作。。。

先求前缀和，得到S

对于a[i].  我们假设a[i]是形成的三角形中最长的。这样就是在其余中选择两个和>a[i],而且长度不能大于a[i]的。（注意这里所谓的大于小于，不是说长度的大于小于，其实是排好序以后的，位置关系，这样就可以不用管长度相等的情况，排在a[i]前的就是小于的，后面的就是大于的）。

根据前面求得的结果。
长度和大于a[i]的取两个的取法是sum[len]-sum[a[i]].

但是这里面有不符合的。

一个是包含了取一大一小的
cnt -= (long long)(n-1-i)*i;

一个是包含了取一个本身i,然后取其它的
cnt -= (n-1);

还有就是取两个都大于的了
cnt -= (long long)(n-1-i)*(n-i-2)/2;

Code：

#include  <stdio.h>
#include  <string.h>
#include  <iostream>
#include  <algorithm>
#include  <math.h>
using namespace  std;
const double PI = acos(-1.0);
#define LL long long
#define MAXL 524230
#define MAXN 100010

//复数结构体
struct  Complex
{
    double x,y;//实部和虚部  x+yi
    Complex(double _x = 0,double _y = 0)
    {
        x = _x;
        y = _y;
    }
    Complex operator -(const Complex &b)const
    {
        return  Complex(x-b.x,y-b.y);
    }
    Complex operator +(const Complex &b)const
    {
        return  Complex(x+b.x,y+b.y);
    }
    Complex operator *(const Complex &b)const
    {
        return  Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
/*
*进行FFT和IFFT前的反转变换。
*位置i和（i二进制反转后位置）互换
* len必须去2的幂
*/
void change(Complex y[],int  len)
{
    int  i,j,k;
    for(i = 1, j = len/2; i <len-1; i++)
    {
        if(i < j)swap(y[i],y[j]);
        //交换互为小标反转的元素，i<j保证交换一次
        //i做正常的+1，j左反转类型的+1,始终保持i和j是反转的
        k = len/2;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if(j < k)j += k;
    }
}
/*
*做FFT
* len必须为2^k形式，
* on==1时是DFT，on==-1时是IDFT
*/
//fft(x,len,1):对向量x做DFT（时域->频域），向量长度为1--len
//fft(x,len,-1):做IDFT（频域->时域）
void fft(Complex y[],int len,int  on)
{
    change(y,len);
    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
    {
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j = 0; j < len; j+=h)
        {
            Complex  w(1,0);
            for(int k = j; k < j+h/2; k++)
            {
                Complex u = y[k];
                Complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] = u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i = 0; i < len; i++)
            y[i].x /= len;
}

Complex x[MAXL];
LL nx[MAXL],tri[MAXN],sx[MAXL],NUM[MAXL];
int TIMES,N,tm;

int main()
{
    scanf("%d",&TIMES);
    for (int Times=1;Times<=TIMES;Times++)
    {
        scanf("%d",&N);

        memset(nx,0,sizeof(nx));
        memset(sx,0,sizeof(sx));
        memset(x,0,sizeof(x));
        memset(NUM,0,sizeof(NUM));

        for (int i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%d",&tri[i]);
            NUM[tri[i]]++;
        }

        sort(tri,tri+N);
        int mx=tri[N-1];
        int l1=mx+1;
        int len=1;
        while (len<2*l1) len<<=1;
        for (int i=0;i<l1;i++)
            x[i]=Complex(NUM[i],0);
        for (int i=l1;i<len;i++)
            x[i]=Complex(0,0);

        fft(x,len,1);

        for (int i=0;i<len;i++)
            x[i]=x[i]*x[i];

        fft(x,len,-1);
        for (int i=0;i<len;i++)
            nx[i]=(LL)(x[i].x+0.5);

        len=2*mx;
        for (int i=0;i<N;i++)
            nx[tri[i]*2]--;
        for (int i=1;i<=len;i++)
            nx[i]=nx[i]/2;
/*
        for (int i=0;i<=len;i++)
            cout<<nx[i]<<" ";
        cout<<endl;
*/
        sx[0]=0;
        for (int i=1;i<=len;i++)
            sx[i]=sx[i-1]+nx[i];
/*
        for (int i=0;i<=len;i++)
            cout<<sx[i]<<" ";
        cout<<endl;
*/
        LL tot=0;
        for (int i=0;i<N;i++)
        {
            tot+=sx[len]-sx[tri[i]];
            tot-=(LL)(N-i-1)*i;
            tot-=(N-1);
            tot-=(LL)(N-1-i)*(N-i-2)/2;
        }
        //cout<<tot<<endl;
        LL kk=(LL)(N*(N-1)*(N-2)/6);
        //cout<<tot<<" "<<kk<<endl;
        printf("%.7lf
",(double)tot/kk);
    }

    return 0;
}

ref：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html