三分法求单峰(单谷)函数极值

## what is 三分法 对于二分，相信你一定十分熟悉。就是在一个具有单调性序列上查找你所需要的数字。由于其单调性，你每一次在查找是就可以将规模缩小一半，大致就是： 1.假设这个数列单调递增 2.维护一个区间左端点$l$，区间右端点r和中间点$mid$ 3.如果$mid$比想要的值小，则左边肯定不可以，那么$l=mid$ 2.如果$mid$比想要的值大，则右边肯定不可以，那么$r=mid$ 因此大致就可以这么写： ``` while (l+1>1; if (v

三分法求二次函数峰值

对于三分，我们用左端点(lmid)和(rmid)进行维护，将这个图像分成三段。并且图像区间的左右端点分别是(l<r.)则我们可以选择这么考虑：（以二次函数(y=-5x^{2}+8x-1)为例）
如图所示：

当(lmid)处于(A)点,(rmid)处于(B)点时：可将左端点(l)缩到(lmid)，右端点不变以保证极值存在。
当(lmid)处于(A)点,(rmid)处于(C)点时：照样可以将(l)缩到(lmid)。
同理，
当(lmid)处于(C)点,(rmid)处于(D)点时：可将右端点(r)缩到(rmid)，左端点不变以保证极值存在。
当(lmid)处于(B)点,(rmid)处于(B)点时：照样可以将(r)缩到(rmid)。
故得到结论：

[f(l)<f(r)→l=lmid ]

[f(l)≥f(r)→r=rmid ]

然后就进行简单的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)<f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'
';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

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二次函数求单谷谷值 & 高次函数应用

通过画图和分类讨论(a<0)的情况，不难得出：

[f(l)＞f(r)→l=lmid ]

[f(l)≤f(r)→r=rmid ]

代码实现只要if内反一下即可：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)>f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'
';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

如果需要高次函数过其它图像，只要在f内稍作修改即可。