又被分治题卡住好几个小时！用最笨的方法搞懂分治法边界，告别死循环！

这篇文章写于我刚学算法时。好家伙，第一道题快排就卡我老半天。但是好消息是，我算是没有得过且过，花了一晚上和一上午，把所有情况都捋了一遍、把迭代过程考虑清楚了。之后便感觉入了门，有了感觉，后续其他题目都没有卡我这么久过。

被很简单的快排 代码运行状态： Memory Limit Exceeded 老半天。

最后琢磨半天越界这事儿。总结起来一句话：避免出现 func(l, r) { ... func(l, r) ... } （递归时传递到下一层的边界值不缩小）这种情况，因为这是死循环。 如何避免？ 比如func(l, r) { func(l, j), func(j + 1, r)}中，j至少满足 j > r （j从r身上离开，防止 func(l, j) 是 func(l, r)），就可用。

#include <iostream>
using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int n; int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++; while (q[i] < x);
        do j --; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &q[i]); quick_sort(q, 0, n-1); for (int i = 0; i < n; i ++) printf("%d ", q[i]); return 0; }

手贱，非得写成：

quick_sort(q, l, i - 1), quick_sort(q, i, r);

好家伙，报错。半天没看出来，后来才恍然大悟，你要是用 i 分界，上面得是 x = q[l + r + 1 >> 1]; 。

那我下面这样不行吗？

x = q[l+r >> 1];
...
quick_sort(q, l, j - 1), quick_sort(q, j, r);

// 或者这样不行吗？
x = q[l+r >> 1];
...
quick_sort(q, l, i - 1), quick_sort(q, i, r);

// 或者这样不行吗？
x = q[l+r >> 1];
...
quick_sort(q, l, i), quick_sort(q, i + 1, r);

// 或者这样不行吗？
x = q[l+r+1 >> 1];
...
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);

// 或者这样不行吗？
x = q[l+r+1 >> 1];
...
quick_sort(q, l, j - 1), quick_sort(q, j, r);

// 或者这样不行吗？
x = q[l+r+1 >> 1];
...
quick_sort(q, l, i), quick_sort(q, i + 1, r);

上述都不行，看我一一举反例。

我们输入长度是2的数组，则第一层循环：l = 0, r = 1（即 quick_sort(0, 1)），如果进入第二层循环时，还出现 quick_sort(0, 1)的情况，则陷入死循环。

下表中，“传到函数的i, j”指调用 quick_sort(q, l, ?i/j), quick_sort(q, ?i/j, r) 中 i, j 的值。

下表中，最后一列标记 x 表示将使程序陷入死循环。

对于 int mid = l+r >> 1;：

测试用例	q[mid]	传到函数的i, j	传入参数
0 1	0	0, 0	j-1 j => (0, -1), (0, 1)x
0 1	0	0, 0	i-1 i => (0, -1), (0, 1)x
0 1	0	0, 0	j j+1 => (0, 0), (1, 1)√
1 0	1	1, 0	i i+1 => (0, 1)x, (2, 1)
1 0	1	1, 0	j j+1 => (0, 0), (1, 1)√

可见，在 int mid = l+r >> 1; 时，四种组合中只有 j j+1 经受住了 0 1 和 1 0 的双重考验。

对于 int mid = l+r+1 >> 1;：

测试用例	q[mid]	传到函数的i, j	传入参数
1 0	0	1, 0	j-1 j => (0, -1), (0, 1)x
1 0	0	1, 0	i i+1 => (0, 1)x, (2, 1)
1 0	0	1, 0	i-1 i => (0, 0), (1, 1)√
0 1	1	1, 1	j j+1 => (0, 1)x, (2, 1)
0 1	1	1, 1	i-1 i => (0, 0), (1, 1)√

可见，在 int mid = l+r+1 >> 1; 时，四种组合中只有 i-1 i 经受住了 0 1 和 1 0 的双重考验。

这是为什么呢？

• 这里有相关证明：AcWing 785. 快速排序算法的证明与边界分析
• 如果你没耐心看上述较为严谨的证明，可以看文末我写的

我用比较笨的方法理解是：

• int mid = l+r >> 1;：则可证明 j 的取值范围是 [l, r-1] ，因此对于边界组合 j j+1 有 quick_sort(q, l, j小于r), quick_sort(q, j+1大于l, r) ，永远都不会有 quick_sort(q, l, r) 出现。
• int mid = l+r+1 >> 1;：则可证明 i 的取值范围是 [l+1, r] ，因此对于边界组合 i-1 i 有 quick_sort(q, l, i-1小于r), quick_sort(q, i大于l, r) ，永远都不会有 quick_sort(q, l, r) 出现。

OK，那下面就是背诵：

• 快排中，int mid = l+r >> 1;（ mid 向下取整），是 j j+1，因为j 取值范围是 [l r-1]
• 我个人是不太喜欢背诵的，还是知道原理，觉得到时候可以快速推导出来靠谱，推导如下。

用较清晰但是笨拙的方法证明一下 mid 向下取整时 j 属于 [l, r-1]。

向下取整时 j 属于 [l, r-1] 等价于 向下取整时至少有两次 j-- 被执行

下面分三种特殊情况讨论（普通情况不讨论），可以看出三种情况中都至少有两次 j-- 被执行

情况1：j在r处就不再q[j] > x，而i在l处还满足q[i] < x

q[mid]     x
           9  8
begin   i        j
step1      i     j  do i++; while(q[i] < x);
step2      i  j     do j--; while(q[j] > x);
step3      8  9
step4      i  j     swap(q[i], q[j]);
step5         ij    do i++; while(q[i] < x);
step6     j  i     do j--; while(q[j] > x);
跳出循环 while(i < j) {}

j在r处就不再q[j] > x，而i在l处还满足q[i] < x；因此对于l < r，还要再跳一轮，因为是 do while 而不是 while do ，所以不管 i 或 j 什么条件，都得再至少来一次 i++; j--; 。

情况2：j在r处还满足q[j] > x，而i在l处就不再q[i] < x

q[mid]     x
           8  9
begin   i        j
step1      i     j  do i++; while(q[i] < x);
step2      ij       do j--; while(q[j] > x);
step3      8  9
跳出循环 while(i < j) {}

j在r处还满足q[j] > x，因此，一定会继续执行j--，j一定会小于r。

情况3：j在r处就不再q[j] > x，且i在l处就不再q[i] < x

q[mid]     x
           8  8
begin   i        j
step1      i     j  do i++; while(q[i] < x);
step2      i  j     do j--; while(q[j] > x);
step3      8  8
step4      i  j     swap(q[i], q[j]);
step5         ij    do i++; while(q[i] < x);
step6      j  i     do j--; while(q[j] > x);
跳出循环 while(i < j) {}

j在r处就不再q[j] > x，且i在l处就不再q[i] < x；此时有 i < j ，因此不跳出循环，执行 swap；对于l < r，还要再跳一轮，因为是 do while 而不是 while do ，所以不管 i 或 j 什么条件，都得再至少来一次 i++; j--; 。

这里的魅力在于 do while ：不管咋的，你满不满足条件，我先给你移动一下，你再判断。

对于二分法，核心思想也是避免出现func(l, r) { func(l, r); } ，因此出现 mid = l + r >> 1; 则必有 r = mid; ，因为 mid 是向下取整，l < r 时 mid 肯定碰不到 r 。

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