Part 2 导数和微分

导数与微分

• 1. 导数
  • 1.1. (color{#00FFFF}{问题引入：})
  • 1.2. 导数的定义
  • 1.3. 导数的意义
  • 1.4. 左右导数
  • 1.5. 导函数
    • 1.5.1. 引入
    • 1.5.2. 导函数的性质定理
• 2. 求导
  • 2.1. 求基本初等函数的导函数
    • 2.1.1. 常值函数
    • 2.1.2. 指数函数
    • 2.1.3. 对数函数
    • 2.1.4. 幂函数((ast))
    • 2.1.5. 正弦余弦
  • 2.2. 函数的求导法则
    • 2.2.1. 四则运算法则
    • 2.2.2. 反函数求导法则
    • 2.2.3. 复合函数求导法则
  • 2.3. 高阶导数
    • 2.3.1. 高阶导数相关概念
    • 2.3.2. 某些基本函数的n阶导数
    • 2.3.3. 高阶导数的运算性质
      • 2.3.3.1. 四则运算性质
      • 2.3.3.2. Leibniz法则变式
      • 2.3.3.3. 变成加和
  • 2.4. 方程确定函数的求导
    • 2.4.1. 显函数与隐函数
    • 2.4.2. 对数微分法
• 3. 微分
  • 3.1. 微分的引入
  • 3.2. 微分
    • 3.2.1. 线性的主部
    • 3.2.2. 可导可微的关系
    • 3.2.3. (frac{mathrm dy}{mathrm dx})的理解
    • 3.2.4. 基本初等函数的微分公式
  • 3.3. 求微分
    • 3.3.1. 常见微分公式
    • 3.3.2. 微分的四则运算法则
    • 3.3.3. 微分的一阶形式不变性
    • 3.3.4. 微分的分析理解
  • 3.4. 微分性质综合应用举例——参方求导

1. 导数

1.1. (color{#00FFFF}{问题引入：})

(1^。)切线

• 切线：设曲线(y=f(x))在曲线上点(P_0(x_0, y_0))处作与曲线相交的割线(P_0Q).从而当(Q)沿曲线(y=f(x))趋于(P_0)点时，割线(P_0Q)的极限位置的(P_0T)存在且唯一，称(P_0T)是曲线(y=f(x))在(P_0)处的切线。

• 设曲线(y=f(x))在曲线上(P_0(x_0, y_0))处存在切线(P_0T)且(P_0T parallel y)轴，求(P_0T)的斜率(k_{P_0T})（目标）

1. 过(P_0(x_0, y_0))作曲线(y=f(x))的割线(P_0Q, Q(x_0+Delta x, f(x_0+Delta x)).) 割线(P_0Q)的斜率(k_{P_0Q}=frac{f(x+Delta x)-f(x_0)}{Delta x} = frac{Delta y}{Delta x},)成为((x_0, x_0 + Delta x))上函数值的平均变化率。
2. (接下来我们可以构造趋近过程：(Q o P_0LeftrightarrowDelta x o0, \,f(x_0 + Delta x) o f(x_0)Rightarrow f(x_0+Delta x)-f(x_0) o0Rightarrowlimlimits_{Delta x o0}Delta y o0Leftrightarrow f(x))在(x)处连续。)
3. (k_{P_0T}=limlimits_{Delta x o 0}k_{P_0Q}=limlimits_{Delta x o 0}frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}.)(极限存在)

(2^。) 瞬时速度

• 质点作变速直线运动，求(t_0)时的瞬时速度(v(t_0).)

1. 设质点作变速直线运动，在(t)时刻的位移是(s=s(t),\,)在(t_0)时刻起一小段时间(Delta t)内的平均速度(overline{v}=frac{s(t_0+Delta t) - s(t_0)}{Delta t})，瞬时速度(v(t_0)=limlimits_{Delta t o 0}overline{v}=limlimits_{Delta t o0}frac{s(t_0+Delta t)-s(t_0)}{Delta t}=limlimits_{Delta t o0}frac{Delta s}{Delta t})(实际上，由于物理位移的连续必然属性,极限存在).

(3^。)人口增长率问题

• 求某一时刻(t_0)时，人口的增长率(k_{t_0})。(设(t)时刻某地区人口(N=N(t)))。
  由前两个问题的研究我们直接写出结果：
  (limlimits_{Delta t o0}frac{N(t_0+Delta t)-N(t_0)}{Delta t}=limlimits_{Delta t o0}frac{Delta N}{Delta t})同样是由于人口变化的实际，这个函数必然是连续的，从而原式极限存在(=k_{t_0}.)

从以上几个例子中我们应该看到，导数存在鲜明的实际意义，这一点在建立微分方程的时候很关键。

1.2. 导数的定义

设(y=f(x))在(u(x_0, delta_0))内有定义((delta_0>0)，)且(x_0+Delta xin u(x_0, delta_0).)若：

• (1^。)(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x})（抽象函数时使用）
• 或(2^。limlimits_{Delta x o0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x_0})（用于初等函数公式推导，强调增量）
• 或(3^。limlimits_{x o x_0}frac{f(x)-f(x_)}{x-x_0})（用于研究一点是否可导，变量不是主要因素，强调定点(x_0)）

存在，则称函数(y=f(x))在(x=x_0)处可导。该点导数值即为这个极限的值，记作(f'(x_0))或(y'ig|_{x=x_0})或(frac{dy}{dx}Big|_{x=x_0})或(frac{df(x)}{dx}Big|_{x=x_0}.)
有方程

[limlimits_{Delta o0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}=f'(x_0). ]

有了等式才有推理空间
则称(f(x))在(x=x_0)处可导，(f'(x_0))称为(f(x_0))在(x=x_0)的变化率。否则(y=f(x))在(x=x_0)处不可导。

1.3. 导数的意义

• (1^。)(f'(x_0))存在，则(f'(x_0))表示曲线(y=f(x))上点((x_0, y_0))处切线斜率，在该点的切线方程为(y-y_0=f(x_0)(x-x_0),)同样地可以写出法线方程(y-y_0=-frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0) ot= 0)).
  • 另外讨论(f'(x_0)=0,)切线(y=y_0,)法线(x=x_0.)
  • 若(y=f(x))在曲线上点((x_0, y_0))处切线存在，推不出(f(x))在(x=x_0)处可导。
• (2^。)(s'(t_0)=v(t_0))
• (3^。)(N'(t_0)=kt_0)

1.4. 左右导数

设(f(x))在([x_0, x_0+delta_0)(delta_0>0))内有定义(x_0+Delta xin(x_0, x_0+delta_0).)
若(limlimits_{Delta o0^+}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0^+}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}=limlimits_{Delta x o x_0^+}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})存在，则称函数(y=f(x))在(x=x_0)处有右导数。记为(=f'_+(x_0).)
同样可以定义左导数，在这里不再赘述。

• (1^。)定理：(f(x))在(x=x_0)处可导(Leftrightarrow f(x))在(x_0)处左右导数存在且相等。
• (2^。)定理（可导的必要条件）
  若(f(x))在(x_0)处可导，则(f(x))在(x_0)处连续。但是反之不成立。
  简证：由(y=f(x))在(x_0)处不可导，有(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x}=f'(x_0),)于是(limlimits_{Delta x o0}left(frac{Delta y}{Delta x} ight)xlongequal{极限四则运算法则}0.)
  反例:(|x|=sqrt{x^2})是初等函数，在(x=0)处连续但不可导。
• (3^。)（可导必要条件的逆否）
  不连续则不可导。（链接jc.ex1.1994.3）

1.5. 导函数

关于可导性的几个宏

若(y=f(x))在开区间((a, b))内每一点都可导（双侧可导），称(f(x))在((a, b))内可导。
若(y=f(x))在((a, b))内可导，在(x=a)处右可导，(x=b)处左可导，则称(y=f(x))在([a, b])上可导。

1.5.1. 引入

若函数(y=f(x))在区间(I)上可导（(I)可开可闭可半开），则(I)上每一个确定的(x)都对应一个极限，这一系列的极限又构成一个函数。

(forall xin I, limlimits_{Delta x o 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x})(存在)(=f'(x)=frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x}f(x).)这个求解导数的法则，也能作为一个函数的对应法则。按照函数定义知(f'(x))是区间(I)上(x)的函数，称为(y=f(x))的导函数或简称为导数。

1.5.2. 导函数的性质定理

若(f'(x))是区间(I)上(f'(x))的导函数，则(f'(x_0)=f'(x)Big|_{x=x_0})
简证：由(f(x))在(I)上可导，即(forall xin I,limlimits_{Delta x o0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=f'(x)).
现取(x=x_0in I.limlimits_{Delta x o0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}=f‘(x)Big|_{x=x_0})左边是导数定义，右边是导函数带代入值。

2. 求导

2.1. 求基本初等函数的导函数

这一系列的求算都是为了求一般的初等函数作准备。

2.1.1. 常值函数

(y=C,\,xinmathbb{R}.)

(limlimits_{Delta x o0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{C-C}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}0=0)
得：

[forall xinmathbb{R}, (C)'=0. ]

2.1.2. 指数函数

(y=a^x(a>0, a ot=1,a)为常数()，xinmathbb{R}.)

(forall xinmathbb{R})（求解过程中(x)是常量）(limlimits_{Delta x o0}frac{a^{x+Delta x}-a^x}{Delta x}=a^xlimlimits_{Delta x o0}=a^xln a.)
得：

[(a^x)'=a^xln a. ]

特别地，((e^x)'=e^x.)

2.1.3. 对数函数

(y=log_ax(a>0, a ot=1, a)为常数())
(forall xin(0, +infty),limlimits_{Delta x o0}frac{log_a(x+Delta x)-log_ax}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{log_a(1+frac{Delta x}{x})}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{ln(1+frac{Delta x}{x})}{xfrac{Delta x}{x}cdotln a}=limlimits_{Delta x o0}frac{1}{xln a}).
特别地，((ln x)'=frac{1}{x}.)

2.1.4. 幂函数((ast))

(forall xinmathbb{D},(x ot=0)limlimits_{Delta x o0}frac{{(x+Delta x)}^a-x^a}{Delta x}=x^acdotfrac{{(1+frac{Delta x}{x})}^a-1}{frac{Delta x}{x}cdot x}=x^acdotfrac{a}{x}=acdot x^{a-1}.)
现在另外讨论(x=0inmathbb{D}()因为(0^a)有意义()Rightarrowlimlimits_{x o0}frac{f(x)-f(0)}{x-0}=limlimits_{x o0}frac{x^a}{x}=)

[limlimits_{x o0}x^{a-1}=. egin{cases} 0&a>1\ 1&a=1\ infty&0<a<1 end{cases}]

2.1.5. 正弦余弦

(forall xinmathbb{R},limlimits_{Delta x o0}frac{sin(x+Delta x)-sin x}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{2cos(x+frac{Delta x}{2})sin(frac{Delta x}{2})}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}cos(x+frac{Delta x}{2})=cos x.)

同理((cos x)=-sin x, xinmathbb{R})

2.2. 函数的求导法则

2.2.1. 四则运算法则

线性加减：((u(x)pm v(x))'=u'(x)pm v'(x).)
莱布尼茨乘除：((u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).)
(left(frac{u(x)}{v(x)} ight)'=frac{u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}{v^2(x)})
从而我们可以求解(( an x)'=(frac{sin x}{cos x})'=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x}=sec^2x.(cot x)'=-csc^2x(x ot=kpi, kinmathbb{Z}), (sec x)'=(frac{1}{cos x})'=-frac{-sin x}{cos^2x}=sec x an x(k ot=frac{(2k+1)pi}{2},kinmathbb{Z}).)同理((csc x)'=-csc xcot x.)

2.2.2. 反函数求导法则

分析：若(y=f(x))的反函数(x=varphi(y), varphi'(y)=frac{mathrm dx}{mathrm dy} ot=0)，那么(f'(x)frac{mathrm dy}{mathrm dx}=frac{1}{varphi'(x)}.)

(varphi'(y)=limlimits_{Delta y o0}frac{Delta x}{Delta y},)于是(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{1}{frac{Delta x}{Delta y}}ig()由(x=varphi(y))严格单调，则(y=f(x))严格单调(,Delta x o0,Delta x ot=0, Rightarrow x-x_0 ot=0Rightarrow x ot= x_0Rightarrow f(x) ot=f(x_0)Rightarrow f(x)-f(x_0) ot=0Rightarrow[f(x_0+Delta x)-f(x_0)] ot=0Rightarrow color{#00FFFF}Delta y ot=0.ig))
由(x=varphi(y))可导且连续，知(x=varphi(y))连续。即有(color{#00FFFF}limlimits_{Delta x o0}Delta y=0.)
从而原式可以转化为(limlimits_{Delta y o0}frac{1}{frac{Delta x}{Delta y}}=frac{1}{varphi'(x).})

由此我们可以得到一系列反三角函数的导数（略去）。

2.2.3. 复合函数求导法则

(y=f(u),u=varphi(x),)求(frac{mathrm df}{mathrm dx}=?)

定理：复合函数求导法则
若(u=varphi(x))对(x)可导，(y=f(u))对(u)可导，则复合函数(y=f[varphi(x)])也可导，且(frac{mathrm dy}{mathrm dx}=frac{mathrm dy}{mathrm du}frac{mathrm du}{mathrm dx})，这个运算法则称为链式法则。

• (color{#FF0000}{区别}) ((f[varphi(x)])')和(f'(varphi(x)).)前者是对(x)导，后者是对(u)导。

证明：由(f'(u))存在，知(limlimits_{Delta u o0}frac{Delta y}{Delta u}=f'(u),limlimits_{Delta x o0}frac{Delta u}{Delta x}=varphi'(x),)于是(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta u}cdotfrac{Delta u}{Delta x}xlongequal{u=varphi(x)可导必连续}limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta u}cdotlimlimits_{Delta x o0}frac{Delta u}{Delta x}=limlimits_{Delta u o0}frac{Delta y}{Delta u}cdot limlimits_{Delta x o0}frac{Delta u}{Delta x}=f'(u)cdot varphi'(x)=[f(varphi(x))]'.) ■

• (color{#00FFFF}{思考：})在某处会不会出现(Delta u=0)导致分式无意义的情况呢？显然有可能。所以这个方法emmm留着玩罢

证法二：
由(f'(u))存在，即(limlimits_{Delta u o0}frac{Delta y}{Delta u}=f'(u).)利用无穷大与极限的关系，我们得到这样的表达式：(frac{Delta y}{Delta u}=f'(u)+alpha,limlimits_{Delta u o0}alpha=0.)在这个式子中(Delta u ot=0.)并补充定义(alpha =0,)当(Delta u ot=0.)
于是(limlimits_{Delta o0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{f'(u)Delta u+alphaDelta u}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}[f'(u)frac{Delta u}{Delta x}+alphafrac{Delta u}{Delta x}]=f'(u)varphi'(x)+0cdotvarphi'(x)=f'(u)varphi'(x).)从而(Delta u)可以为0，毕竟主推导过程并未出现(frac{1}{Delta u})结构。

链式法则也可以推广到多项，并利用数学归纳法证明
同时出于书写的简便性原则，我们也可以将其提炼为内层-外层法则。

• 例 求(sin(x^2+x))的导数。(Thomas.p208.ex4)

• (frac{mathrm d}{mathrm dx}sin(x^2+x)=cos(underbrace{x^2+x}_ ext{单独的里面函数})cdot(underbrace{2x+1}_ ext{里面函数的导数}))
  另外几个有价值的例子：

• (1^。)(y=lnsqrt{frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}}+sqrt{1+cos^2(frac{1}{x})+sin^2(frac{1}{x})}).

  先化简再求导

  • 原式(=frac{1}{2}cdot 2xln e-frac{1}{2}ln(e^{2x}-1)+sqrt2.)
  • 再求导(=1-frac{1}{2}frac{1}{e^{2x}-1}cdot2e^{2x}=-frac{1}{e^{2x}}.)

• (2^。)((ln|x|)'=frac{1}{x}.)

  这不仅为我们求解一般的对数绝对值提供了很大的帮助，更是为求积分的一个易错点作准备。

• (3^。)(color{#FF0000}{例误})(y'=(x^{sin x})'=sin xcdot x^{sin x-1}???)

  • 注意：幂函数求导法则可是常数啊老哥！

• (4^。)一点提醒：对分段函数，如果在分界点处左右表达式不同，需要求左右导数。因为

  1. 很有可能有一侧的导数不存在(?)
  2. 想象那个末端的延长趋势，极大可能不一样噢。

2.3. 高阶导数

2.3.1. 高阶导数相关概念

若(f(x))在区间(I)上的导函数(f'(x))在(I)上可导，即([f'(x)]'()存在()=f''(x)),(y'=y''=frac{mathrm dy'}{mathrm dx}=frac{mathrm d}{mathrm dx}y'=frac{mathrm d}{mathrm dx}frac{mathrm dy}{mathrm dx}xlongequal{mathrm {def}}frac{mathrm d^2y}{mathrm dx^2})
注意：

• (dx^2=mathrm dxcdotmathrm dx=(mathrm dx)^2 ot=mathrm d(x^2)=2xmathrm dx.)
• 若函数(f(x))在(x)处(n)阶可导，则在点(x)的某邻域内(f(x))必定有一切低于(n)阶的导数。

2.3.2. 某些基本函数的n阶导数

• 这个标题的隐含意思是说，许多函数的高阶导数求不出来/绝大多数函数的很高很高阶的导数求不出来。
• 两个主要方法 利用公式，归纳。

例

• (1^。)（函数的更高阶不易求）(y=e^{-x^2}.)

  • (y'=e^{-x^2}cdot(-2x))
  • (y''=e^{-x^2}(-2x)cdot(-2x)+e^{-x^2}cdot(-2)=-2e^{-x^2}(1-2x^2).)

• (2^。)（容易看出规律）(y=x^a)

  • (y'=acdot x^{a-1})
  • (y''=a(a-1)cdot x^{a-2}.)
  • (cdotscdots)
  • (y^{(n)}=a(a-1)cdots(a-n+1)cdot x^{(a-n)})
  • (数学归纳法证)

  特别地，取(a=n，)则((x^n)^{(n)}=n!.)
  另外，(forall n, min mathbb{N}, m>n,(x^n)^{(m)}=0.)

  有趣的问题：(0^0)的存在性，可以为了计算方便，记作1；但也可根据构造说明无意义:(0^0=0^{(1-1)}=frac{0}{0}?)

• (3^。)(y=ln x)（求一二阶导规律不明显）

  • (y'=frac{1}{x})
  • (y''=-frac{1}{x^2})
  • (y'''=frac{2}{x^3})
  • (cdotscdots)
  • (y^{(n)}=(-1)^{n-1}cdot(n-1)!cdot x^{-n})
  • 我们也可以使用幂函数的解法：
    [egin{aligned} &y^{(n)}=(x^{-1})^{(n-1)}\ =&(-1)^{n-1}cdot(n-1)!cdot x^{-1-(n-1)}\ =&(-1)^{n-1}frac{(n-1)!}{x^n} end{aligned}]

  • 同理，由于((1+x)'=1,)得
    [[(1+x)^a]^{(n)} =a(a-1)(a-2)cdots(a-n+1)(1+x)^{a-n}; ]
    [[ln(1+x)]^{(n)} =(-1)^{(n-1)}frac{(n-1)!}{x^{n}} ]

• (4^。)对(y=sin x):

  • (y'=cos x)
  • (y''=-sin x)
  • (y'''=-cos x)
  • (y''''=sin x)(经过四次导数变了回来？)
  • 如果分类的话，与守株待兔有某种神似，是很低效而滑稽的。
  • 寻找转机：(cos x=sin(x+frac{pi}{2})?)类似地写下去。
  • 猜想并证明：
  [(sin x)^{(n)}=sin(x+frac{kpi}{2}). ]
  • 同理有
    [(cos x)^{(n)}=cos(x+frac{kpi}{2}). ]

2.3.3. 高阶导数的运算性质

2.3.3.1. 四则运算性质

若(u^{(n)},v^{(n)})均存在，则:

[egin{aligned} (upm v)^{(n)}&=u^{(n)}pm v^{(n)}\ (Cu)^{(n)}&=Ccdot u^{(n)}\ (uv)^{(n)}&=sum_{i=1}^n C^i_n u^{(n-i)}cdot v^{(i)} end{aligned}]

2.3.3.2. Leibniz法则变式

若一个乘式中有一项禁不住导，把其“看成”(v)，另一项有(n)阶导数公式，从而使用Leibniz公式求解即可。

• 例(e^xcdot x^2?)

[egin{aligned} &(e^xcdot x^2)^{(n)}\ =&C_n^0 e^xcdot x^2+C_n^1 e^xcdot 2x+C_n^2 e^xcdot2\ =&e^x(x^2+2nx+n(n-1)) end{aligned}]

2.3.3.3. 变成加和

更多地，我们会发现Leibniz公式在绝大多数情况下，并不好用，简洁易行的加和公式不失为一个很好的选择。

• 例
  • (1^。)
    (y=frac{1}{x^2+3x+2}=frac{1}{(x+2)(x+1)}=frac{1}{x+1}-frac{1}{x+2})
    (y^{(n)}=[(x+1)^{-1}-(x+2)^{-1}]^{(n)}=(-1)^{n}cdot n!((1+x)^{-n}-(2+x)^{-n}).)
  • (2^。)(e^xcos x.)虽然两个均有(n)阶导数公式，但二者均不会导为0.从而考虑多次导找规律。

2.4. 方程确定函数的求导

2.4.1. 显函数与隐函数

定义：设(F(x, y)=0,D,C)均为非空实数集，如果(forall x_0in D, F(x_0, y) = 0)有唯一的解(y_0,)即(F(x_0, y_0) = 0, y_0in C,)按照函数的定义，得到了(D)上的一个函数，记作(y=y(x),)称为方程(F(x, y))确定的函数，如何求(y=y(x))的导数，如果从(F(x, y)=0)中解出(y)用(x)的表示，则称(y=y(x))是显函数。

• 例 (y^3-c^3 = 1)确定(y=y(x),y=sqrt[3]{1+x^3},xinmathbb{R},)满足((sqrt[3]{1+x^3})^3-x^3equiv1)(恒等关系)

如果(F(x, y)=0)确定(y=y(x)，)但是(y)不能用(x)的具体表达式表示，称为方程确定的隐函数.

• 例
  方程(y-xe^y=1)确定的函数(y=y(x))为隐函数，有(y(x)-xe^{y(x)}equiv1.xin D)
  对方程两边同时求导

[y'(x)-e^{y(x)}-xe^{y(x)}cdot y'(x)=0. ]

整理得：

[y'(x)=frac{e^{y(x)}}{1-xe^{y(x)}} ]

若求(frac{mathrm dy}{mathrm dx}Big|_{x=0},)由方程得(y=1，)故而(y'=e.)
从而求得，在曲线上((0, 1))处切线方程：(y-1=ex,)
法线方程：(y-1=-frac{1}{e}x.)
(y''=frac{e^yy'(1-xe^y)+e^{2y}(xy'+1)}{(1-xe^y)^2})
也可以对方程求导。（对直接求值的问题更加方便）

例 (y=f(x+y)，)求(frac{mathrm d^2y}{mathrm dx^2},)其中(f)二阶可导。
解：由(y=y(x),)方程两边对(x)求导，(y'=f'(x+y)cdot(1+y')Rightarrow y'=frac{f'}{1-f'}(1).)(y''=frac{(1+y')f''(1-f')+f'cdot (1+y')f''}{(1-f')^2},)再代入((1))式即可 ■

2.4.2. 对数微分法

当项数较少时仍然可以使用(f(x)=e^{ln f(x)})变形。但项数过多以后，写在(e)头上的函数式就会显得臃肿。

• 例

  • (y=x^{sin x})(ln y=sin xln x.)隐函数求导：(frac{1}{y}cdot y'=cos xln x+frac{sin x}{x}.)
  • (y=frac{(ln x)^x}{x^{ln x}},)求(y')(ln y=xlnln x-(ln x)^2.)
    隐函数求导：(frac{1}{y}cdot y'=lnln x+xfrac{1}{ln x}frac{1}{x}-2frac{ln x}{x})

• 例二 (y=frac{sqrt[3]{3x+1}cdot x^2}{sqrt{2x+1}cdotsqrt[3]{1-5x}})

  • (ln y=frac{1}{3}ln|3x+1|+2ln |x|-frac{1}{2}ln|2x+1|-frac{1}{3}ln|1-5x|)
  • (frac{1}{y}cdot y'=frac{1}{3}frac{1}{3x+1}3+2frac{1}{x}-frac{1}{2}frac{1}{2x+1}2-frac{1}{3}frac{1}{1-5x}(-5))
  • (y'=ycdot(frac{1}{3x+1}+frac{2}{x}-frac{1}{2x+1}+frac{5}{3(1-5x)})

  这个题目中关于根式的对数，最好取绝对值，这样相当于扩大定义域。在较大的定义域都能成立的话，缩小到小范围自然能成立。

3. 微分

3.1. 微分的引入

若(y=f(x))在(x)处可导，按照定义(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x}=f'(x)Leftrightarrowfrac{Delta y}{Delta x}=f'(x)+alphaLeftrightarrowDelta y = f'(x)Delta x+alphaDelta x.)其中(limlimits_{Delta x o0}alpha = 0.)故而(limlimits_{Delta x o0}frac{alphaDelta x}{Delta x}=0.)知(alphaDelta x=o(Delta x)(Delta x o0),)从而(Delta y=f'(x)Delta x+o(Delta x).)（当(|Delta x|)很小(|o(Delta x)|)更小）( hereforeDelta yapprox f'(x)Delta x)

3.2. 微分

3.2.1. 线性的主部

设(y=f(x),)若(Delta y=f(x+Delta x)-f(x))可表示为(Delta y=ADelta x + o(Delta x)(Delta x o0))其中(A)是与(Delta x)无关的，称(y=f(x))在(x)处可微，其中(ADelta x)称为(y=f(x))的线性主部/微分，记作(mathrm dy.)即(mathrm dy= ADelta x.)

线性主部这个概念极好地描述了微积分的线性拟合的思想，也说明了微分作为主要部分的特征。

3.2.2. 可导可微的关系

可微即可导。(一元函数微分学的归结原则)

充分性是显然的，下证必要性。

(f(x))在(x)处可微，由定义知(Delta y=ADelta x+o(Delta x)(Delta o0))于是(limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}[A+frac{o(Delta x)}{Delta x}]=Aig(=f'(x)ig),)

3.2.3. (frac{mathrm dy}{mathrm dx})的理解

如果(y=f(x))在(x)处可微((x)为自变量) (mathrm dy=f'(x)Delta x)或(mathrm df(x)=f'(x)Delta x)
由(y=x)在(x)处可导(Leftrightarrow)在(x)处可微。
得(mathrm dx=Delta x:)自变量的增量=自变量的微分。
于是原式可以化成(mathrm dy=f'(x)mathrm dx)即(frac{mathrm dy}{mathrm dx}=f'(x).)自此我们证明了原来导数记号的除式的本质。导数也可以称为微商。

3.2.4. 基本初等函数的微分公式

(mathrm dy=f'(x)mathrm dx)

3.3. 求微分

3.3.1. 常见微分公式

（见上一节）

3.3.2. 微分的四则运算法则

若(u(x), v(x))均可微，则(mathrm d(upm v)=mathrm du pm mathrm dv)
(mathrm d(Ccdot u)=Cmathrm du).
(mathrm d(uv)=vmathrm du + umathrm du.)
(mathrm d(frac{u}{v})=frac{vmathrm du-umathrm dv}{v^2}(v ot=0))

3.3.3. 微分的一阶形式不变性

1. 这个性质与复合函数求导法则是对应的。同时，这样的结构性的性质由于抽象程度相应更高，从而还能逆用作为不定积分的理论基础。
2. 大致的理解就是在考察一个函数的微分的时候，我们可以将某一个变量块(中间变量)看作一个整体，作为自变量，将求复杂微分变成复合函数微分，利用Thomas中齿轮的理解，复合函数的微分就是只着眼于最后一个齿轮传动点。亦是外层-里层法则的思想的体现。

若(y=f(x))可微，且(x)为自变量，则(mathrm dy = f'(x)mathrm dx.)
若(y=f(x))可微，(x=varphi(t))可微，(t)为自变量，于是(mathrm dy=[f(varphi(t))]'mathrm dt.Rightarrowmathrm d(f(varphi(t)))=f'(varphi(t))varphi'(t)mathrm dt)=(f'(varphi(t))mathrm dvarphi(t)xlongequal{x=varphi(t)}Rightarrowmathrm df(x)=f'(x)mathrm dx.)知(x)为中间变量时，这个形式仍然成立。亦即(y=f(x))可微，不论(x)时自变量还是中间变量。都有(mathrm df(x)=f'(x)mathrm dx.)
这个性质称为微分的一阶形式不变性

• 若(y=f(u),)如果(mathrm dy=g(u)mathrm du = mathrm df(u)=f'(u)mathrm du.)则(f'(u)=g(u),frac{mathrm dy}{mathrm du}=g(u))（微商性质的体现）

运用时，类似里层-外层的法则。不再赘述

3.3.4. 微分的分析理解

(Delta x o0, Delta ysim mathrm dy.)称(mathrm dy)是(Delta y)的最佳近似，即(Delta y=f(x_0 + Delta x)-f(x_0)approx f'(x_0)Delta x.Rightarrow f(x_0+Delta x)approx f(x_0)+f'(x_0)Delta x).
若(y=f(x))在(x)处可微，(Delta y=ADelta x+o(Delta x)=f'(x)mathrm dx + o(Delta x),)当(|Delta x|)很小，有(Delta y = mathrm dy.)若(f'(x) ot=0,limlimits_{Delta x o0}frac{Delta y}{mathrm dy}=frac{f'(x)Delta x+o(Delta x)}{f'(x)Delta x}=limlimits_{Delta x o0}[1+frac{1}{f'(x)}cdotfrac{i(Delta x)}{Delta x}]=1.)这说明当(|x|)很小的时候，(f(x)=f(0+x)approx f(0)+f'(0)x)
这样的近似的正确性我们也可以通过其他方式验证。
例如求(f(x)=(1+x)^a)的近似值时的((1+x)^aapprox1+ax,)经由(limlimits_{x o0}frac{(1+x)^a-1}{x}=a)可验证。

3.4. 微分性质综合应用举例——参方求导

除了隐函数之外，综合型求导只能靠参方，极坐标也可以认为在参数方程之下。

若

[egin{cases} x=varphi(t),&\ y=psi(t)& end{cases}]

确定(y=y(x),)求(frac{mathrm dy}{mathrm dx}.)
分析

[frac{mathrm dy}{mathrm dx}left(=frac{frac{mathrm dy}{mathrm dt}}{frac{mathrm dx}{mathrm dt}} ight)left(=frac{mathrm dpsi(t)}{mathrm dvarphi(t)}=frac{psi'(t)mathrm dt}{varphi'(t)mathrm dt} ight)=frac{psi'(t)}{varphi'(t)} ]

总结：若(varphi'(t),psi'(t))存在且(varphi'(t) ot=0,)则(frac{mathrm dy}{mathrm dx}=frac{psi'(t)}{varphi'(t)})
也可以理解成一阶微分形式不变性+反函数微分法则的综合。

例

• (1^。)

[egin{cases} x&=f'(t)\ y&=f(t)-tf'(t). end{cases}]

(f'''(t))存在，(f''(t) ot=0,)求(frac{mathrm{d}^3y}{mathrm dx^3}).
解：(frac{mathrm dy}{mathrm dx}=-t.)
(frac{mathrm d^2x}{mathrm d^2x}=frac{(-t)'}{f''(t)}.)
(frac{mathrm d^3y}{mathrm dx^3}=frac{frac{f'''(t)}{(f''(t))^2}}{f''(t)}=frac{f'''(t)}{[f''(t)]^3})

• (2^。)

[egin{cases} x&=ln(1+t^2)\ y&=t-arctan t end{cases}]

则：

[frac{mathrm dy}{mathrm dx}=frac{1-frac{1}{1+t^2}}{frac{2t}{1+t^2}}=frac{t}{2} ]

[frac{mathrm d^2y}{mathrm dx^2}=frac{frac{1}{2}}{frac{2t}{1+t^2}}=frac{1+t^2}{4t}. ]