LCA倍增法
模板：luogo P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
今天讲的时候有点跑神，现在卑微地来补习（菜）
LCA指的是最近公共祖先(Least Common Ancestors)。
最简单的算法无疑是从两个点一个个往上走，出现的第一个两个点都走过的点即为两点的LCA。
但是时间很长。
所以起用倍增，倍增的作用就是将两点上升所需的复杂度减低。
大致流程为：将deep不同的两个点跳到同一层，再跳到deep[lca-1]的那层，再向上跳一层就是lca了。
加速跳的方法就是每次向上跳的层数为2的i次方层，就是把层数转化成2进制的数，这样时间复杂度就变为log2（n）了。
之后要两个数组f[i][j](从i向上2^j层后到达的点)和deep[i](这棵树中i点的深度)。
deep[i]用一个dfs求得。
f[i][j]用了递推，f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。初始化f[i][0]也可以在遍历整棵树的时候求得。
然后，两点再同时向上逼近。i从最高位开始枚举，假设两点分别为x,y，那么能向上跳的判断式为：
if （f[x][i]!=f[y][i]） { x=f[x][i]; y=f[y][i]; }
就是如果两点向上跳了2^i层以后不到同一个点就接着往上跳。为什么这样？因为如果往上跳了2^i层，即使到了同一个点，它不一定是两点的LCA。
这样做，最终就会到达LCA的下面一层。随后，我们再将两点向上跳一层。LCA求得。
然后这个让我无比摸不着头脑的问题出现了：
为什么最终会到达LCA的下面一层？
我们假设从a,b点开始，往上跳2^j层，跳到同一点。不跳。往上跳2^(j-1)层，不跳到同一点，往上跳，分别到了A'，B'。显然，这种情况是一定会存在的。那么，从A'，B’再往上跳到原来那个决定不跳的点，显然要跳2^(j-1)层。那么，那个点有可能是LCA，也有可能不是，对吧？所以，从A'，B'往上跳到LCA所需的层数，是≤2^(j-1)的。换句话来说，A'，B'到X的层数变成了一个j-2位的二进制数（可能会有前导零，也就是还可能会跳到点数相同的地方）。而此时，刚好枚举到j-2位。那么，前导零不减，再这么减下去，你发现，这个层数差最终会变成0，而你最终也会到达第X层。
大概就是你的叔伯（爸爸的兄弟）不是你的祖先，这里找的祖先必须是直系的。
为什么与X层数差最终会变成0？
首先我们证明，前导零不会被减去。假设与X层的层数差为x'，而你正准备往上跳y层。由于LCA的层数是X+1，而LCA往上的点它都不会跳，对吧？（反而，如果LCA往下的点，也就是层数<=X，也就是y<x'+1，它都会往上跳）所以如果y>=x'+1，那么就绝对不会往上跳。
显然，当x'的该位为0，且属于前导零，那么只需证明x'+1<=y。而这个非常易证（假设y为10000，而x'满足条件的最大值为01111）。所以保证，前导零是不会减去的。
接着我们证明，一旦枚举到了x'的第一个为1的位数，这个1绝对会被减去。按照同样的方法，假设y为10000，而x'满足条件的最小值为10000，所以y<x'+1.
两点合在一起，前导零不会减去，枚举到一个1位就减去，最终这个层数差就会变成0.证毕。
代码：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<stack> #include<algorithm> #include<cmath> #define maxn 500010 #include<queue> using namespace std; int f[maxn][21],head[maxn],deep[maxn],cnt,n,m,rt; struct edge { int v,next; }e[maxn<<1]; void add(int u,int v) { e[++cnt].v=v; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; } void dfs(int x,int fa) { f[x][0]=fa; deep[x]=deep[fa]+1; for(int i=head[x];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v; if(v==fa) continue; dfs(v,x); } } void Init() { for(int j=1;(1<<j)<=n;++j) { for(int i=1;i<=n;++i) { if(deep[i]>=(1<<j)) { f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; } } } } int query(int x,int y) { if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int d=deep[x]-deep[y]; for(int j=20;j>=0;--j) if(d&(1<<j)) x=f[x][j]; if(x==y) return x; for(int j=20;j>=0;--j) { if(f[x][j]!=f[y][j]) { x=f[x][j]; y=f[y][j]; } } return f[x][0]; } int main() { int u,v; scanf("%d%d%d",&n,&m,&rt); for(int i=1;i<n;++i) { scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v); add(v,u); } dfs(rt,0); Init(); while(m--) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d ",query(x,y)); } return 0; }
2019-07-3122:54:32