如何设计一个卡方检验

从 (0,1,··· ,2^n −1) 中随机取一个数, 取完后放回. 独立重复这个过程 k 次, 事件 (A_m):“此 k 个数中最大的数是 m”的概率(P_m)。((m≤2^n-1))

• 设(P_A)为k次试验取得的数均小于等于m的概率，显然(P_A)中包含k次试验均取出小于m值的事件，则(P_A = (frac{m+1}{2^n})^k)

  设(P_B)为k次试验取得的数均小于m的概率，则(P_B = (frac{m}{2^n})^k)

  则(P_m = P_A -P_B = (frac{m+1}{2^n})^k-(frac{m}{2^n})^k = frac{(m+1)^k-m^k}{(2^n)^k})

• 1）取n=3，k=3

  则P(0) = 1/512，P(1) = 7/512，P(2) = 19/512，

  P(3) = 37/512，P(4) = 61/512，P(5) = 91/512，

  P(6) = 127/512，P(7) = 169/512

  2）将试验结果分为以下四类：

  (e_1):取出来的数小于等于4 ，(P_1 = frac{125}{512})

  (e_2):取出来的数最大为5，(P_2 = frac{91}{512})

  (e_3):取出来的数最大为6，(P_3 = frac{127}{512})

  (e_4):取出来的数最大为7，(P_4 = frac{169}{512})

  3） 算法如下：

  独立重复n次试验后可得(e_1,e_2,e_3,e_4)出现的次数为(η_1,η_2,η_3,η_4)

  四项分布理论(ξ = sum_{i=1}^{4}{frac{(η_i-nP_i)^2}{nP_i}}) ~ (χ^2(3))

  则观察值为(ξ_{obs}= sum_{i=1}^{4}{frac{(η_i-nP_i)^2}{nP_i}})

  (P_{val} = Q(frac{3}{2},frac{ξ_{obs}}{2}))

  4）举例该算法检验过程如下:

  例如100010111101001010分为两组，一组为100（4）010（2）111（7），另一组为101（5）001（1）010（2）

  第一组属于(e_4)，第一组属于(e_2)，即对于这一组数据来说，(，e_1，e_3)出现了0次，(，e_2，e_4)

  出现了1次。

  则观察值(ξ_{obs}=2P_1 + 2P_3 + frac{(1-2P_2)^2}{2P_2} + frac{(1-2P_4)^2}{2P_4} = 2.328)

  借助MATLAB平台算出P值为0.7232