【数据结构】树上启发式合并

https://codeforces.com/contest/375/problem/D

这道题也有用树上莫队的解法，这里再给一个树上启发式合并的解法。

树上启发式合并，类似轻重链剖分，先算出每个节点的重儿子，然后计算答案时先递归计算轻儿子的答案，标记clr为true，然后计算重儿子的答案，clr为false，然后把轻儿子的节点暴力插到重儿子里，最后把父节点自己加入。

int n;
vector<int> G[MAXN];
int siz[MAXN], mch[MAXN];

void dfs1(int u, int p) {
    siz[u] = 1, mch[u] = 0;
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p)
            continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[mch[u]] < siz[v])
            mch[u] = v;
    }
}

由于树上启发式合并并不关心深度，所以没有必要维护深度。

void calc(int u, int p, int skip, int d) {
    bit.Add(cnt[c[u]], -1);
    cnt[c[u]] += d;
    bit.Add(cnt[c[u]], 1);
    for (int v : G[u]) {
        if (v == p || v == skip)
            continue;
        calc(v, u, 0, d);
    }
}

void dfs2(int u, int p, bool keep) {
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p || v == mch[u])
            continue;
        dfs2(v, u, false);
    }
    if (mch[u])
        dfs2(mch[u], u, true);
    calc(u, p, mch[u], 1);
    for (pii &q : Q[u]) {
        int id = q.first, k = q.second;
        ans[q.first] = bit.Sum(k, n);
    }
    if (!keep)
        calc(u, p, 0, -1);
}

然后是主要的计算过程dfs2，dfs2优先进入所有的轻儿子，并且不keep轻儿子的答案，保持树状数组为空。然后进入重儿子计算并keep重儿子的结果。这里使用一个辅助函数calc，calc的修改值为1时表示向树状数组中添加，然后命令其在添加时skip掉重儿子。计算完毕后树状数组中存着这棵子树对应的状态，然后取出所有的询问进行回答。那之后，假如不keep树状数组，调用calc修改值为-1，并且不跳过重儿子，把整棵子树删除干净。

时间复杂度为 (O(nlog^2n))

https://codeforces.com/gym/102832/problem/F

这里的查询要去重，所以要先计算再查询。而且要注意cache的命中。一次树遍历就统计出所有的信息，把常用的局部值放在数组的低维。

int n, k;
int a[MAXN];

vector<int> G[MAXN];
int siz[MAXN], mch[MAXN];

void dfs1(int u, int p) {
    siz[u] = 1, mch[u] = 0;
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p)
            continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[mch[u]] < siz[v])
            mch[u] = v;
    }
}

int cnt[1 << 20][17][2];
ll ans;

void calc1(int u, int p, int LCA) {
    int val = a[u] ^ a[LCA];
    for (int k = 16; k >= 0; --k) {
        int uk = (u >> k) & 1;
        ans += (1LL << k) * cnt[val][k][uk ^ 1];
    }
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p)
            continue;
        calc1(v, u, LCA);
    }
}

void calc2(int u, int p) {
    int val = a[u];
    for (int k = 16; k >= 0; --k) {
        int uk = (u >> k) & 1;
        ++cnt[val][k][uk];
    }
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p)
            continue;
        calc2(v, u);
    }
}

void calc3(int u, int p) {
    int val = a[u];
    memset(cnt[val], 0, sizeof(cnt[val]));
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p)
            continue;
        calc3(v, u);
    }
}

void dfs2(int u, int p, bool keep) {
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p || v == mch[u])
            continue;
        dfs2(v, u, false);
    }
    if (mch[u])
        dfs2(mch[u], u, true);
    int val = a[u];
    for (int k = 16; k >= 0; --k) {
        int uk = (u >> k) & 1;
        ans += (1LL << k) * cnt[0][k][uk ^ 1];
        ++cnt[val][k][uk];
    }
    for (int &v : G[u]) {
        if (v == p || v == mch[u])
            continue;
        calc1(v, u, u);
        calc2(v, u);
    }
    if (!keep) {
        memset(cnt[val], 0, sizeof(cnt[val]));
        for (int &v : G[u]) {
            if (v == p)
                continue;
            calc3(v, u);
        }
    }
}

void solve() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        G[i].clear();
    for (int i = 1; i <= n - 1; ++i) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0, true);
    printf("%lld
", ans);
}