递归讨论（一）

前段时间刚看完c++语法部分的内容，现在开始着手研究下，用c++实现下一些基本的排序算法。 因为是初学者的缘故，可能理解之处还是存在不到位之处，但权且当作学习过程中的一种心得体会，也算记录下自己学习的路程吧。（理解的浅陋之处望及时指出）

所谓递归，就是方法自己调用自己，从而实现代码上的简化，同时也简化阅读人员的可读性。

递归的优势在于：当要求解一个问题时，在求解过程中，会碰到同样的处理过程。这个求解的过程就是递归的方法，不断递归的就是这个处理过程，而递归让这个问题逐渐变小，最终回到递归基上。

递归基：就是当问题足够简单时，或者已经不能再分解时，所能给出的返回结果，即为递归基。

这样说可能太抽象了，上例子了：

比如：我们求解n!(n的阶乘)，即1*2*3...n；

数学上：  f(n) = n*f(n-1);（n>=2，n是自然数），这个式子有个好名叫递推公式

可以看出：f(n)和f(n-1)它们是同样的问题，所以处理过程一定是一样的，只是规模上的问题。

该问题的详细过程：

当要求得f(n)时，我们要知道f(n-1)，
求f(n-1)时，需求f(n-2)的值
...
最终要求f(1)的值，---------递归基的位置上

代码：

#include<iostream>
int fun(int num);
int main()
{
    using namespace std;
    int num=5;
    cout << fun(num);
    return 0;
}
int fun(int num)
{
    if(num==1)
    {
        return 1;
    }
    return num*fun(num-1);
}

从上述代码可以看出，f(n)调用了f(n-1)的结果，同理f(n-1)会继续调用本身的方法，最终都会回归到递归基。
方法代码简化：

int fun(int num)
{
    return num==1?1:num*fun(num-1);
}

从上面的例子，我们初步了解了递归的形式。下面会展示一道典型的递归用法。

常谈的斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

从递推公式中可以看出，它调用了自身，只是处理的规模变成了n-1和n-2；典型的递归式。

数列定义中可以看出递归基为：F(0)=0,F(1)=1；问题最终都会分解到递归基上。

上代码：

#include<iostream>
int Fibonacci(int num);
int main()
{
    using namespace std;
    int num=5;
    cout << Fibonacci(num);
    return 0;
}
int Fibonacci(int num)
{
    return num<=1?num:Fibonacci(num-1)+Fibonacci(num-2);
}

程序还真是简单。
递归有个概略印象了，但程序并不是简洁就行了，还得运行起来快速。所以时间复杂度是必须考虑的,目前对空间复杂度方面暂时不考虑.
其运行图解如下图： 

我们根据递推公式：T(n) = T(n-1)+T(n-2)
这是一个常系数的二阶线性齐次递推关系式，其求解方法就简单了：
得出其特征方程：

可以得到其解，呵呵，黄金分割数要出现了

(黄金分割数的相反数哦。。。。。。)
从而得出复杂度如下： 

呵呵，我们平时只记个O(2^n)，其实它的时间复杂度是这样的，很奇怪吧。但确实如此，可见此算法不是个高效的算法，当n达到一定的值时，出结果的速度会长达很久很久，举个例子吧，若n取100吧，2GHz的处理器，1s钟能处理2g次，即2^31次，而1年相当于2^25次方，所以n取100时，需要 2^(100-25-31)年，这得等多久啊。。。。。。。。。。

所以这不是一个合理的算法。。。。。。

分析上述高时间复杂度产生原因：有些已经计算过值，如F(5)，在计算F(6)时，它会调用F(5)，此时需重复计算F(5)的值，这样的多次的重复的计算，造就了如此高的时间复杂度。

若我们采取将这些计算过的值放在一个备忘表中，这样在下次调用中，直接从备忘表中取，我们可以瞬间降低时间开销。哈哈，是如此。

上述迭代是一种自上而下的算法，下面我们来看看自下而上的算法。

采用循环迭代的方法：

直接上代码：

#include<iostream>
int Fibonacci(int num);
int main()
{
    using namespace std;
    int num=5;
    cout << Fibonacci(num);
    return 0;
}
int Fibonacci(int num)
{
    int result=0;
    int sum=1;
    if(num<2)
        return num;
    int i=1;
    while(i<num)
    {
        sum += result;
        result = sum-result;
        i++;
    }
    return sum;
}

图解:

从上可以看出，有时递归并不是一定是解决问题最好的办法，有时也许循环迭代倒是处理问题的好方法