2019年9月22日18:22:52-2019年9月22日18:59:51
对于给定居住面积和卧室数量预测房价的问题。我们可以建立一个线性回归模型。假设具有如下形式，
[h(x)=sum_{i=0}^{n} heta_{i} x_{i}= heta^{T} x
]
其中( heta_{i}) 叫做参数（parameters），也叫权重（weights）。(x_{0}=1) 为截距项（intercept）。
注意，这里的记法是上标表示一个样例下标表示样例的某一个分量，(n) 是变量个数。
对于训练集中的数据，我们希望假设在输入上的预测值与输出偏差的平方和最小，所以有如下损失函数（ecost function）来衡量某个假设在训练集上的表现，
[egin{equation}
J( heta)=frac{1}{2} sum_{i=1}^{m}left(h_{ heta}left(x^{(i)}
ight)-y^{(i)}
ight)^{2}
end{equation}
]
最小均方算法（least mean square）
我们用梯度下降法（gradient descent）来最小化这个损失，定义了损失函数(J( heta)) 之后，函数梯度下降法给以下面的规则同时更新各个参数，
[egin{equation}
heta_{j} := heta_{j}-alpha frac{partial}{partial heta_{j}} J( heta)
end{equation}
]
现在我们来具体求出在线性回归问题上的更新公式，先假设有一个样例$left(x^{}, y^{} ight) $ ，
[egin{aligned}
frac{partial}{partial heta_{j}} J( heta) &=frac{partial}{partial heta_{j}} frac{1}{2}left(h_{ heta}(x)-y
ight)^{2} \
&=2 cdot frac{1}{2}left(h_{ heta}(x)-y
ight) cdot frac{partial}{partial heta_{j}}left(h_{ heta}(x)-y
ight) \
&=left(h_{ heta}(x)-y
ight) cdot frac{partial}{partial heta_{j}}left(sum_{i=0}^{n} heta_{i} x_{i}-y
ight) \
&=left(h_{ heta}(x)-y
ight) x_{j}
end{aligned}
]
因此对一个样本有更新规则（对(n) 个变量同时进行，(j=1,2,ldots,n) ），
[ heta_{j} := heta_{j}+alphaleft(y^{(i)}-h_{ heta}left(x^{(i)}
ight)
ight) x_{j}^{(i)}
]
上面的更新规则又叫做最小均方误差更新规则（least mean square），或者 Widrow-Hoff学习规则，来一个样本更新一次，又叫随机梯度下降或增量梯度下降（stochastic gradient descent）。随机梯度下降法，震荡比较猛一点，不过一般情况下也还好。当数据集很大时，这种方法比后面的方法更讨喜。
对于全体样例，有类似的更新规则，
[egin{equation}
heta_{j} := heta_{j}+alpha sum_{i=1}^{m}left(y^{(i)}-h_{ heta}left(x^{(i)}
ight)
ight) x_{j}^{(i)}
end{equation}
]
这个方法在每一步会用到所有的训练样本，所以又叫做批梯度下降（batch gradient descent）。
梯度下降法可能收敛到局部最小值，但对于线性回归问题的损失函数，一个凸二次函数，只有一个全局最小值，一定收敛到全局最小值。