初识费用流 模板(spfa+slf优化) 餐巾计划问题

　　今天学习了最小费用最大流，是网络流算法之一。可以对于一个每条边有一个容量和一个费用（即每单位流的消耗）的图指定一个源点和汇点，求在从源点到汇点的流量最大的前提下的最小费用。

　　这里讲一种最基础也是最好掌握的实现算法，就是spfa求费用流。

　　其实也很简单，在最大流的基础上，我们将dfs增广替换成对于费用为权值的边跑spfa得到的最短路，相当于一个贪心的思想。证明有一定难度，稍微口糊一下，就像ford-fulkerson一样，这个算法每次都能找到一条单位流费用和最小的路径，又由于路径中每条边的流量相等，每次增广就能使得单位流量的平均费用更小，而最大流流量是不变的，这样就能使得费用最小。

　　网络流算法主要考建图，所以模板只要会默下来就够了，还有就是：

　　一定要会写spfa！！！

　　对于spfa，这里有两个小优化。

　　一个是slf优化，就是对于spfa的进队操作，进之前判一下若小于队头就直接插在队头，这个还是蛮有用的，可以提升点速度；

　　另一个是记路径的时候可以不用记前趋点，只要记边，反向边指向的就是前趋，就不用多开一个数组的空间。(这个是zxyer学长当时说的)

　　下面贴上代码：

　　这是网络流24题中的餐巾计划问题。

　　题目大意是：一个饭馆每天需要使用ri条干净的餐巾，用完就脏了，干净餐巾可以由3种方式得到：

　　　　1.直接购买，p元一条；

　　　　2.快洗，需要t1天，花费w1元；

　　　　3.慢洗，需要t2天，花费w2元；

　　所以我们建6种边，把每天拆成两个点，分别为干净的（1~n）和脏的（n+1~n*2），这里要注意的是，干净的不直接向脏的连边，而是连向T，相当于必须送满ri条给顾客使用，再从S送到脏的一边。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int inf=2147483647;
int n,m,p,t1,w1,t2,w2,tot=1,mx,q[2010],d[2010],pree[2010],h[2010];
struct edge{int to,nxt,cst,cap;}e[10010];
bool vis[2010];
int mn(int x,int y){return x>y?y:x;}
void add(int fr,int to,int cst,int cap)
{
    e[++tot]={to,h[fr],cst,cap};h[fr]=tot;
    e[++tot]={fr,h[to],-cst,0};h[to]=tot;//建一条容量为0费用为-cap的反向边且满足正反边异或值为1方便将边取反 
}
void init()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&p,&t1,&w1,&t2,&w2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int r;scanf("%d",&r);mx+=r;
        add(0,n+i,p,inf);//直接购买花费p元 
        add(0,i,0,r);//当天用完的旧餐巾 
        add(i+n,n*2+1,0,r);//当天需要使用的新餐巾 
        if(i+t1<=n)add(i,i+n+t1,w1,inf);//快洗花费t1时间，每条w1元 
        if(i+t2<=n)add(i,i+n+t2,w2,inf);//快洗花费t2时间，每条w2元 
        if(i<n)add(i,i+1,0,inf);//不需要做任何事的餐巾积到明天（也可以先洗完然后放在那边等就是n+i连向n+i+1） 
    }
    n=n*2+1;
}
bool spfa()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf;
    int l=0,r=1;q[1]=0;vis[0]=1;
    while(l!=r)
    {
        int x=q[l=l==n?0:l+1];
        for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
            if(e[i].cap&&e[i].cst+d[x]<d[e[i].to])
            {
                int v=e[i].to;
                pree[v]=i;
                d[v]=d[x]+e[i].cst;
                if(!vis[v])
                {
                    if(d[v]>d[l+1])q[r=r==n?0:r+1]=v;
                    else q[l]=v,l=l==0?n:l-1;//这边加的是slf优化，用了循环队列来写 
                    vis[v]=1;
                }
            }
        vis[x]=0;
    }
    return d[n]==inf?0:1;
}
int costflow()
{
    int cost=0,mm=0;
    while(spfa())
    {
        int mi=inf;
        for(int i=n;i;i=e[pree[i]^1].to)//记路径时记下前趋路径 
            mi=mn(mi,e[pree[i]].cap);
        for(int i=n;i;i=e[pree[i]^1].to)
        {
            int ee=pree[i];
            e[ee].cap-=mi;
            e[ee^1].cap+=mi;
        }
        cost+=d[n]*mi;
        mm+=mi;
    }
    return mm==mx?cost:0;//是否满流的判断(这道题不会出现不满流的情况，所以不加也可) 
}
int main()
{
    init();
    printf("%d",costflow());
    return 0;
}